012高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
D题机器人避障问题
图1是一个800×800的平面场景图，在原点O00点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：
编障碍左下顶
其它特性描述
号物名点坐标
称
1正方300边长200
形400
圆形2
圆心坐标550450，半径70
3平行360底边长140，左上顶点坐
四边240标400330
形
4三角280上顶点坐标345210，右
形100下顶点坐标410100
5正方8060边长150
形
6三角60上顶点坐标150435，右
f形7长方
形
300下顶点坐标2353000470长220，宽60
8平行四边形
150600
底边长90，左上顶点坐标180680
9长方370长60，宽120
形680
10正方540边长130
形600
11正方640边长80
形520
12长方500长300，宽60
形140
在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
机器人直线行走的最大速度为v05个单位秒。机器人转弯时，最大转弯速
其中是转弯半径。度为v

v


1

v0e1001
2
，

如果超过该速度，
机器人将发生侧
翻，无法完成行走。请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的
数学模型。对场景图中4个点O00，A300300，B100700，C700640，具体计算：
f1机器人从O00出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。
2机器人从O00出发，到达A的最短时间路径。注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。
图1800×800平面场景图
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