线性代数
线性代数期末试题含答案
学院
系姓名
学号
分数
22122013
请注意所有答案和解答写在空白答题纸上，标明大题号和小题号。
一
二
三
四
总分
一、填空题（本题共10个小题每小题2分，满分20分。答案写在答题纸上）。
1若0是矩阵A的特征值，则A0。
2若

2是可逆矩阵
A
的一个特征值，则

12
A3
1
必有一个特征值为
14
。
200
200
3若
A


0
0
1

与
B


0
y
0

相似，则
x

y

01x
001
1。
130
4若矩阵
A
与矩阵
B


1
1
0

相似，则
A
的特征值为
2，2（二重）
。
002
5若A为实对称矩阵，113T与45aT是A的分别属于特征值3与4的特征向量，则a3。6设是实对称矩阵A的分别属于特征值1和2的单位特征向量，则
A222。
7若A是正交矩阵，是长度分别为34的正交向量，则A5。
8二次型fx1x2x2x3x3x1的秩是3。9二次型fx1x2x3x1x2x3x12x2x3的符号差为0。
1
f线性代数
33
10二次型fx1x2x3
xixj的正惯性指数和秩的乘积是1。
i1j1
二、选择题本题共10个小题每小题2分，满分20分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。答案写在答题纸上。
1设A为
阶实对称矩阵，则BA对于任意
维实向量有AxxBA有
个互相正交的特征向量；
CA的线性无关的两个特征向量一定正交；DA有
个互不相同的的实特征值；
2下列矩阵中不是正交矩阵的是D
01
A
1
0

cossi
0
B

si
0
cos0
01
1
C
1

5
610
5110
10

104
D
12

3131
3131
3
阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是B
AA有
个互不相同的特征值；
BA有
个线性无关的特征向量；
CA有
个互不相同的特征向量；DA有
个两两正交的特征向量。
4同阶矩阵A与B相似的充分必要条件是B
A存在可逆矩阵P与Q，使得PAQB；B存在可逆矩阵P，使得AP1BP；
C存在可逆矩阵P，使得PTAPB；DrArB。
100
5如果矩阵
A与对角矩阵
D


0
1
0

相似，则
A10


A

001
AE；BA；CE；D10E。
6若实可逆矩阵C使得r