则PD必过球心O
精品文档
f精品文档
第二步：O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，计算出小圆O1的半径O1Drr利用正弦定理计算可得
第三步：利用勾股定理即可：R2r2OO12
例5：三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC底面ABC是边长为3的正三角形，SA23，
则该三棱锥的外接球体积等于（
）
S
CA
题型二：三棱锥PABC的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上
B
第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则POO1三点共线；
第二步：先计算出小圆O1的半径，AO1r再算出棱锥的高PO1
S
第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2hR2r2解出R
方法二：2Raa为棱长，为侧棱与底面所成角
si

CA
B
例6：正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球
体积等于（
）
五折叠模型
题型两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠
第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，
找出BCD和ABD的外心H1和H2第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OEOC
第三步：解OEH1，算出OH1，在RTOCH1中，勾股定理即可：OH12CH12R2
例7：棱形ABCD的边长为2，且BAD60将棱形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面A
BD平面BCD则三棱锥ABCD的外接球的半径为（
）
A
D
B
C
精品文档
f精品文档
变式：“平面ABD平面BCD”改为“平面ABD与平面BCD所成角为120”则三棱锥ABCD的外接球的半径为（）
六、课堂小结
1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？
（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；
（2）再构造直角三角形，勾股定理求解
2、三组对棱分别型的三棱锥如何找外接球的半径呢？
方法：直接补成长方体，求其体对角线；3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？
方法：直接补成长方体，求其体对角线；
4、墙面型（侧棱垂直于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢？
第一步：找底面多边形外接圆的圆心O1，计算出小圆O1的半径O1Drr利用正弦定理计算可得
第二步：过O1作OO1

底面，O为球心且O1O
12
hh为椎体的高
第三步：利用勾股定理即可：
5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？
（1）找底面多边形外接圆的圆心O（1顶点在底面的投影），计算出小圆O1的半径O1Drr利用正弦定理计算可得
（2）在高线上取一点作为球心O；（3）利用勾股定理求出半径即可
6、折叠问题（对称性）精品文档
f精品文档
（1）找两底面多边形r