高中数学学习材料
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典型例题一
例1如果命题“坐标满足方程fx，y0的点都在曲线C上”不正确，那么以下正
确的命题是
（A）曲线C上的点的坐标都满足方程fx，y0．（B）坐标满足方程fx，y0的点有些在C上，有些不在C上．（C）坐标满足方程fx，y0的点都不在曲线C上．（D）一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程fx，y0．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程fx，y0的点不一定都在曲线C上，易知
答案为D．
典型例题二
例2说明过点P51且平行于x轴的直线l和方程y1所代表的曲线之间的关系．
分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二
者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程fxy0的解”，即纯粹性；“以方程的
解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．
解：如下图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y1，因而在直线l上的点的坐标都满足y1，所以直线l上的点都在方程y1表示的曲线上．但是以y1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上，因此方程y1不是直线l的方程，直线l只是方程
fy1所表示曲线的一部分．
说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．
典型例题三
例3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程yx所表示的直线之间的关系．
分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．
解：方程yx所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程yx，例如点33到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程yx．因此不能说方程yx就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程yx所表示的轨迹．
说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．
典型例题四
例4曲线x2y124与直线ykx24有两个不同的交点，求k的取值范
围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方
程组分别有两个解、一个解r