黄浦新王牌高中补习班双曲线焦点三角形的几个性质
文1给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质：
设若双曲线方程为
x2y21，F1F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：a2b2
2
性质1、若FPF12则SF1PF2bcot
；特别地，当FPFb2。1290时，有SF1PF22
2PF1PF2cosPF12PF22F1F222PF1PF2cosPF1PF222PF1PF2F1F222PF1PF2cos2a22PF1PF22c22PF1PF2cos14a2c2PF1PF22b2b21cossi
22
2si
22si
22b2
cosb2cot22

SF1PF2
1PF1PF2si
2
易得90时，有SF1PF2b

2
f性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。证明：设双曲线
x2y21的焦点三角形的内切圆且三边F1F2，PF1，PF2于点ABC，双a2b2
曲线的两个顶点为A1A2
PF1PF2CF1BF2AF1AF2PF1PF22a，AF1AF22a
A在双曲线上，又A在FF12上，A是双曲线与x轴的交点即点A1A2
性质3、双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则
BAeAP
证明：由角平分线性质得
fBAF1BF2BF1BF2B2ceAPF1PF2PF1PF2P2a
性质4、双曲线的焦点三角形PF1F2中，PFF12PF2F1
e1cot22e1e1当点P在双曲线左支上时，有cotta
22e1
当点P在双曲线右支上时，有ta

证明：由正弦定理知
F2PF1PF1F2si
si
si
F2PF1PF1F2si
si
si

由等比定理，上式转化为
2a2csi
si
si
2si
cossi
si
coscossi
csi
2222222asi
si
2cossi
si
si
coscossi
2222222
分子分母同除以cos
si
，得22
cot1e122eta
cot22e1ta
cot122ta
参考文献：1熊光汉椭圆焦点三角形的若干性质数学通报20045
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