初三数学二次函数的专项培优练习题含答案解析
一、二次函数
1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（10）、C（30）、D（3
4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒1个单位的2
速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为
1；（3）2085或20．13
【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，
所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到
，解得t值；
②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NHCQ，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：
，解得t值．
解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），∵抛物线的顶点为A，
f设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，代入点C（30），可得a＝－1．∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）∵P（11t，４），2
将x11t代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝41t2，
2
4
∴M（11t，41t2），
2
4
设直线AC的解析式为
，
将A（１４），C（３０）代入
，得：
，
将x11t代入得
，
2
∴N（11t，），2
∴MN
，
∴
，
∴当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1．
（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，
∵Ｎ（11t，2
），P（11t，４），2
∴PＮ＝４（）＝＝CQ，
又∵PN∥CQ，
∴四边形PNCQ为平行四边形，
∴当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，
PQ2＝PD2DQ2＝
，
∴
，
整理，得t240t800．解得t12085，t22085（舍去）；
f②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，NHCQ，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形r