．
郑
州
质
量
预
测
一如图所示，交圆于，两点，切圆于，为上一点且＝，连接并延
长交圆于点，作弦垂直，垂足为
求证：为圆的直径；若＝，＝，求弦的长．
解证明：因为＝，所以∠＝∠由于为切线，故∠＝∠，又因为∠＝∠，所以∠＝∠，所以∠＋∠＝∠＋∠，从而∠＝∠
又⊥，所以∠＝°，所以∠＝°，故为圆的直径．连接，
由于是直径，故∠＝∠＝°在△与△中，＝，＝，从而得△≌△，
f于是∠＝∠又因为∠＝∠，所以∠＝∠，故∥
因为⊥，所以⊥，∠为直角，所以为直径，又由知为圆的直径，所以＝＝
．河北名校联盟质监二已知△中，＝，为△外接圆劣弧上的点不与点、重合，延长至，延长交的延长线于求证：∠＝∠；求证：＝证明∵、、、四点共圆，∴∠＝∠∵＝，∴∠＝∠，且∠＝∠，∠＝∠＝∠＝∠，∴∠＝∠由得∠＝∠，又∵∠＝∠，∴△与△相似，∴＝，∴＝，又∵＝，∴＝，∴＝，根据割线定理得＝，∴＝
．江西八校联考如图，直线与⊙相切于点，是⊙的弦，∠的平分线交⊙于点，连接，并延长与直线相交于点．
f求证：＝－；若＝，＝，求弦的长．解证明：∵与⊙相切于点，∴∠＝∠，
∵∠＝∠，∴∠＝∠，∴＝，
由切割线定理得：＝＝－，∴＝－
由＝＝，＝及，知＝，由∠＝∠知△∽△，∴＝，∴＝
．郑州质量预测二如图，已知圆是△的外接圆，＝，是边上的高，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点求证：＝；若＝，＝，求的长．
f解证明：连接，由题意知△为直角三角形．因为∠＝∠＝°，∠＝∠，所以△∽△，所以＝，即＝又＝，所以＝因为是圆的切线，所以＝，又＝，＝，所以＝，＝－＝，因为∠＝∠，又∠＝∠，所以△∽△，所以＝，得＝＝，∠＝，所以∠＝＝∠，所以＝＝
课标全国卷Ⅱ如图，为等腰三角形内一点，⊙与△
的底边交于，两点，与底边上的高交于点，且与，分别相切于，两点．
证明：∥；若等于⊙的半径，且＝＝，求四边形的面积．解证明：由于△是等腰三角形，⊥，所以是∠的平分线．
f又因为⊙分别与，相切于点，，所以＝，故⊥从而∥
由知，＝，⊥，故是的垂直平分线．又为⊙的弦，所以在上．连接，，则⊥
由等于⊙的半径得＝，所以∠＝°因此△和△都是等边三角形．因为＝，所以＝，＝
因为＝＝，＝＝，所以＝于是＝，＝所以四边形的面积r