条直线的斜率相同，在y轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。进一步来说当方
程组

yy

a1xb1a2xb2
无解时，直线l1
、l2
平行。当a1

a2，b1

b2
时，两条直线的斜率相
同，在y轴上的截距也相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。
进一步来说当方程组

yy

a1xb1a2xb2
有无数个解时，直线l1
、l2
重合。当a1

a2时，两条
直线的斜率不相同，两条直线相交，只有一个交点，因而方程组只有一个解。进一步来说当
方程组

yy

a1xb1a2xb2
仅有一个解时，直线
l1
、l2
相交。
这个问题正是利用以数助形的方法给出了判断两直线之间的位置关系的代数方法。
例3、已知ABC的三边长分别为m2
2、2m
及m2
2（m、
为正整数，且m
）。求ABC的面积（用含m、
的代数式表示）。
这个问题实质上是已知三角形的三边长来求解三角形的面积问题，对于这类问题一般称之为“三斜求积”问题，通常可用“海伦公式”。关于“海伦公式”的探讨在人教版九年级上册第21章的阅读材料部分。运用“海伦公式”计算三角形面积的计算过程明显比较繁锁，能避免最好不用。本题能不能避免使用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊
之处。由于m2
22m2
22m
2即ABC的三边满足勾股定理，所以ABC
是一个直角三角形。进而可以采用直角三角形的面积公式求解，其中边：m2
2与2m
是直角边，m2
2是斜边。所以ABC的面积1m2
22m
m
m2
2。
2注：海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，设pabc，则
2Sppapbpc。
勾股定理证明相关的垂直关系是比较常用的“以数助形”的一种手法，能够利用熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用，可以避免使用比较繁琐的海伦公式，进而使
2
f问题的求解得到简化。
例4、如图在平面直角坐标系中，A23，B53，C25是三角形的三个顶点，求
y
BC的长。
C25
这是人教版九年级上册211二次根式练习中的第二题，这一
题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离。而在本题中
A23B53
ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可得BCAC2AB2
O
x
223213。
这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公
式。利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点Ax1y1、
Bx2y2，则A，B两点之间的距离dx1x22y1y22。两点之间的距离公
式对求解相关的距离问题是比较常r