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专题三：排列、组合及二项式定理
一、排列、组合与二项式定理
【基础知识】
1分类计数原理（加法原理）Nm1m2m

2分步计数原理（乘法原理）Nm1m2m

3排列数公式
A
m




1


m

1



！
，m∈N，且m！
m≤
．
4组合数公式
C
m


A
mAmm


1
12
mm
1


！
，m∈N，且m！
m！
m≤

5组合数的两个性质：
1
C
m


C

m

2
C
m


Cm1


Cm
1
（3）
C
rr
Crr1

C
rr2



C
r


Cr1
1

6排列数与组合数的关系是：A
mm！C
m
7二项式定理：ab


C
0

a



C
1

a

1b

C
2

a


2
b
2



C
r

a


r
b
r
C
b


二项展开式的通项公式：Tr1

C
r

a


r
b
r
r

0，1，2，

【题例分析】
例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？
解法：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有
A
44
种；（2）甲、乙二人有且仅有
1
人参加，有
2
C
34
（
A
44
－
A
33
）种；（3）甲、乙二人均参加，有
C
24
（
A
44
－2
A
33
＋
A
22
）
种，故共有252种．
点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种．例2有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符
合下列条件的选法数：1有女生但人数必须少于男生．2某女生一定要担任语文科代表．3某男生必须包括在内但不担任数学科代表．4某女生一定要担任语文科代表某男生必须担任科代表但不担任数学科代表．
解：1先取后排有
C53C
23
C54C31种后排有A55种共有（C
53C32C54C31A55＝5400种．
2除去该女生后先取后排：C74A44840种．
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3先取后排但先安排该男生：
C74C
14
A44

3360
种．
4先从除去该男生该女生的
6
人中选
3
人有
C
36
种再安排该男生有
C
13
种其余
3
人全
排有A33种共C63C31A33360种．
例3、、有6本不同的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（6）摆在3层r