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初中数学中考试题研究
《代数几何综合试题》
二轮复习化归思想
初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思
想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问
题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、
整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．
Ⅱ、典型例题剖析【例1】（嘉峪关，8分）如图3－1－1，反比例函数y－8x与一次
x2的图象交于A、B两点．
函数y－
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积．
解：⑴解方程组

y


8x
yx2
得
x1

y1

42


x2y2

24
所以A、B两点的坐标分别为A（－2，4）B4，－2
（2）因为直线y－x2与y轴交点D坐标是0，2），
所以
SAOD

12
22

2SBOD

12
24

4
所以SAOB246
点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第
二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．
【例2】（自贡，5分）解方程：2x125x120
解：令yx1，则2y25y20．
1
1
所以y12或y22，即x1＝2或x12．
3
3
所以x＝3或x2故原方程的解为x＝3或x2
点拨：很显然，此为解关于x－1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，
所以可根据方程的特点，含未知项的都是含有（x1）所以可将设为y，这样原方程就可以利用换
元法转化为含有y的一元二次方程，问题就简单化了．
源于网络收集
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【例3】（达川模拟，6分）如图3－1－2，梯形ABCD中，AD
∥BC，
ABCD，对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD3BC5，
求AC的长．
解：过D作DE⊥AC交BC的延长线于E，则得ADCE、
ACDE．所以
BEBCCE8．
因为AC⊥BD，所以BD⊥DE．
因为ABCD，所以AC＝BD．所以GDDE．
在Rt△BDE中，BD2＋DE2BE2
所以BD＝2BE42，即AC422
点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和
平行四边形，使问题得以解决．
【例4】（新泰模拟，5分）已知△ABC的三边为a，b，c，且a2b2c2abacbc，试判断△ABC的形状．
解：因为a2b2c2abacbc，
所以2a22b22c22ab2ac2bc，
即：ab2bc2ac20
所以ab，ac，bc所以△ABC为等边三角形．点拨：此题将几r