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2011年高考试题数学理（新课标卷）21解析简介：新课标数学全国卷的21考察函数与导数，是近几年高考难度较大的一道，考察考生
函数与导数的有关知识，考察考生的转化能力、分类讨论思想、数型结合思想及其二次函数的有关问题，考察考生综合处理问题的能力，对高考的选拔性功能起到了很好的体现．下面再给出一种解法（21）（本小题满分12分）已知函数fx
al
xb，曲线yfx在点1f1处的切线方程为x2y30。x1xl
xk，求k的取值范围。x1x
（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x0，且x1时，fx
分析：新课标数学全国卷的21考察函数与导数，是近几年高考难度较大的一道，考察考生函数与导数的有关知识，考察考生的转化能力、分类讨论思想、数型结合思想及其二次函数的有关问题，考察考生综合处理问题的能力，对高考的选拔性功能起到了很好的体现。解法一原创：（Ⅰ）略（Ⅱ）由（Ⅰ）知fx
l
x1，所以x21x
k1x211l
xk2l
xfx2xx1x1x
考虑函数hx2l
x
k1x21
x
x0，
k1x212xk1x22xk1则hx考察分子二次函数的开口方向分类
xx
（）设k1（开口向上）此时hx0而h10，故当x1时，hx0，可得
1hx0与题设矛盾。1x2
（）设k1（开口向下）①当224k120（即k0）
x1时，hx0。而h10，故
当x01时，hx0，可得
1hx0；1x2
1
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当x（1，）时，h（x）0，可得
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1h（x）01x2l
xkl
xk从而当x0且x1时，f（x）（）0，即f（x）x1xx1x
②当224k120（即0k1）
k1x
2
2xk10，x1
111k1k
2
x2
111k1k
2
又0x11x2，所以x（1，x2）时，（k1）21）2x0故hx0而h（1）0，故（x当x（1，x2）时，h（x）0，可得
1h（x）0与题设矛盾。1x2
【或所以x（x1，1）时，（k1）21）2x0故hx0而h（1）0，故当x（x1，（x1）时，h（x）0，可得
1h（x）0与题设矛盾】。1x2
【或又0x11xr