期T＝πω跟踪训练1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．1y＝cos2x，x∈R；
2y＝si
13x－π4，x∈R
f解1因为cos2x＋π＝cos2x＋2π＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π
2因为si
13x＋6π－π4＝si
13x＋2π－π4＝si
13x－π4，由周期函数的定义知，y＝si
13x－π4的周期为
6π三角函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性：
1fx＝si
－12x＋π2；2fx＝lg1－si
x－lg1＋si
x；3fx＝1＋s1i＋
sxi－
cxos2x
思路探究
解1显然x∈R，fx＝cos12x，
∵f－x＝cos－12x＝cos12x＝fx，∴fx是偶函数．
2由1－si
x＞0，1＋si
x＞0，
得－1＜si
x＜1，
解得定义域为xx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z
，

∴fx的定义域关于原点对称．
又∵fx＝lg1－si
x－lg1＋si
x，
∴f－x＝lg1－si
－x－lg1＋si
－x
＝lg1＋si
x－lg1－si
x＝－fx，
∴fx为奇函数．
3∵1＋si
x≠0，∴si
x≠－1，
f∴x∈R且x≠2kπ－π2，k∈Z
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
规律方法1判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；二看fx与f－x的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性：
1fx＝cos32π＋2x＋x2si
x；
2fx＝1－2cosx＋2cosx－1解1fx＝si
2x＋x2si
x，又∵x∈R，f－x＝si
－2x＋－x2si
－x＝－si
2x－x2si
x＝－fx，∴fx是奇函数．
2由12－co2scoxs－x1≥≥00，，得cosx＝12，
∴fx＝0，x＝2kπ±π3，k∈Z，
∴fx既是奇函数又是偶函数．
三角函数的奇偶性与周
期性的综合应用
探究问题
1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？
提示：奇函数有y＝2si
x，y＝si
2x，y＝5si
2x，y＝si
xcosx等．偶函数有y
＝cos2x＋1，y＝3cos5x，y＝si
xsi
2x等．2．若函数y＝fx是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f2018的值是多少？提示：f2018＝f0＋1009×2＝f0＝0
1下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
A．y＝cos2x
B．y＝si
2x
C．y＝si
π2＋2x
D．y＝cos32π－2x
f2定义在R上的函数fx既是偶函数，又是周期函数，若fx的最小正周期为π，
且当x∈0，π2时，fx＝si
x，则f5π3等于r