第一部分高中数学活题巧解方法总论
一、代入法若动点Pxy依赖于另一动点Qx0y0而运动，而Q点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系
式x0fx，y0gx，于是将这个Q点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P点的轨迹
方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C：yx2与直线l：xy20交于两点AxAyA和BxByB，
且xAxB，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D设点Pst是L上
的任一点，且点P与点A和点B均不重合若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
【巧解】联立
y

x2与
y

x2得xA

1xB

2，则
AB中点Q15，22
1s
5t
设线段PQ的中点M坐标为xy，则x2y2，
2
2
即s2x1t2y5，又点P在曲线C上，
2
2
∴2y52x12化简可得yx2x11，又点P是L上的任一点，
2
2
8
且不与点A和点B重合，则12x12，即1x5，
2
4
4
∴中点M的轨迹方程为yx2x11（1x5）
84
4
【例2】（2008年，江西卷）设Px0y0在直线xmym0m1上，过点P作双曲线x2y21的
两条切线PA、PB，切点为A、B，定点
M

1m
0
。
过点
A
作直线x
y0的垂线，垂足为
N，试求AMN的
重心G所在的曲线方程。
【巧解】设Ax1y1Bx2y2，由已知得到y1y20，且x12y121，x22y221，（1）垂线AN的方程为：
yy1xx1，
由

y
y1xxy0
x1
得垂足
N

x1
2
y1

x1
2
y1

，设重心
Gx
y
所以


xy

13
x1

1m
13y10

x1x1
22
y1y1
解得

x1

9x9y
3y4
3x

3m
1

y1

m4
由x12y12
1
可得3x3y13x3y12
m
m
即x12y22为重心G所在曲线方程
3m
9
f巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线Cyx2的焦点为F，动点P在直线lxy20上运动，过P
作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点，求△APB的重心G的轨迹方程
巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系xOy中，有一个以F10
3和F20
3为焦点、离心率为3的
2
椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在r