第一部分高中数学活题巧解方法总论
一、代入法若动点Pxy依赖于另一动点Qx0y0而运动,而Q点的轨迹方程已知(也可能易于求得)且可建立关系
式x0fx,y0gx,于是将这个Q点的坐标表达式代入已知(或求得)曲线的方程,化简后即得P点的轨迹
方程,这种方法称为代入法,又称转移法或相关点法。
【例1】(2009年高考广东卷)已知曲线C:yx2与直线l:xy20交于两点AxAyA和BxByB,
且xAxB,记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D设点Pst是L上
的任一点,且点P与点A和点B均不重合若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;
【巧解】联立
y
x2与
y
x2得xA
1xB
2,则
AB中点Q15,22
1s
5t
设线段PQ的中点M坐标为xy,则x2y2,
2
2
即s2x1t2y5,又点P在曲线C上,
2
2
∴2y52x12化简可得yx2x11,又点P是L上的任一点,
2
2
8
且不与点A和点B重合,则12x12,即1x5,
2
4
4
∴中点M的轨迹方程为yx2x11(1x5)
84
4
【例2】(2008年,江西卷)设Px0y0在直线xmym0m1上,过点P作双曲线x2y21的
两条切线PA、PB,切点为A、B,定点
M
1m
0
。
过点
A
作直线x
y0的垂线,垂足为
N,试求AMN的
重心G所在的曲线方程。
【巧解】设Ax1y1Bx2y2,由已知得到y1y20,且x12y121,x22y221,(1)垂线AN的方程为:
yy1xx1,
由
y
y1xxy0
x1
得垂足
N
x1
2
y1
x1
2
y1
,设重心
Gx
y
所以
xy
13
x1
1m
13y10
x1x1
22
y1y1
解得
x1
9x9y
3y4
3x
3m
1
y1
m4
由x12y12
1
可得3x3y13x3y12
m
m
即x12y22为重心G所在曲线方程
3m
9
f巧练一:(2005年,江西卷)如图,设抛物线Cyx2的焦点为F,动点P在直线lxy20上运动,过P
作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点,求△APB的重心G的轨迹方程
巧练二:(2006年,全国I卷)在平面直角坐标系xOy中,有一个以F10
3和F20
3为焦点、离心率为3的
2
椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在r