绝对值不等式
一、基础知识
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则a＋b≤a＋b，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么a－c≤a－b＋b－c，当且仅当a－bb－c≥0时，
等号成立．
↓
a－b≤a－b≤a＋b，当且仅当a≥b且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，
右边等号成立
2．绝对值不等式的解法1xa与xa型不等式的解法
不等式
a0
a＝0
a0
xa
x－axa


xa
xxa或x－axx∈R且x≠0
R
2ax＋b≤cc＞0和ax＋b≥cc0型不等式的解法：①ax＋b≤c－c≤ax＋b≤c；②ax＋b≥cax＋b≥c或ax＋b≤－cx－a＋x－b≥c和x－a＋x－b≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
考点一绝对值不等式的解法
f典例2016全国卷Ⅰ已知函数fx＝x＋1－2x－3
1画出y＝fx的图象；2求不等式fx1的解集．
x－4，x≤－1，
解1由题意得fx＝3x－2，－1x≤32，－x＋4，x32，
故y＝fx的图象如图所示．
2由fx的函数表达式及图象可知，当fx＝1时，可得x＝1或x＝3；
当fx＝－1时，可得x＝13或x＝5
故fx1的解集为x1x3，
fx－1的解集为xx31或x5


所以fx1的解集为xx31或1x3或x5


题组训练1．解不等式x＋1＋x－1≤2解：当x－1时，原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，解得x≥－1，又因为x－1，故无解；
f当－1≤x≤1时，原不等式可化为x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；当x1时，原不等式可化为x＋1＋x－1≤2，解得x≤1，又因为x1，故无解；综上，不等式x＋1＋x－1≤2的解集为－11．
2．2019沈阳质检已知函数fx＝x－a＋3x，其中a∈R
1当a＝1时，求不等式fx≥3x＋2x＋1的解集；
2若不等式fx≤0的解集为xx≤－1，求a的值．
解：1当a＝1时，fx＝x－1＋3x
法一：由fx≥3x＋2x＋1，得x－1－2x＋1≥0，
当x1时，x－1－2x＋1≥0，得x≤－2，无解；
当－12≤x≤1时，1－x－2x＋1≥0，得－12≤x≤0；
当x－12时，1－x－－2x－1≥0，得－2≤x－12
∴不等式的解集为x－2≤x≤0．
法二：由fx≥3x＋2x＋1，得x－1≥2x＋1，
两边平方，化简整理得x2＋2x≤0，
解得－2≤x≤0，
∴不等式的解集为x－2≤x≤0．
2由x－a＋3x≤0，可得4x≥x－aa，≤0
r