75对称变换和对称矩阵
授课题目：75对称变换和对称矩阵教学目的：1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题．2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质．3．对一个实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使TAT为对角形授课时数：3学时教学重点：对称变换的特征根、特征向量的性质对实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使TAT为对角形教学难点：定理754的证明教学过程：一、对称变换1、一个问题问题：欧氏空间V中的线性变换应该满足什么条件，才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形？V满足：（），V2、对称变换的定义设是欧氏空间V中的线性变换，如果V都有、
（），
则称是V的一个对称变换例1以下R的线性变换中指出哪些是对称变换
3
1x1x2x3x1x2x2x3x3x1
2x1x2x3x1x3x22x3x12x2x3
3x1x2x3x2x1x3
3、对称变换与对称矩阵的关系Th1：
维欧氏空间V中的线性变换是对称变换的充分必要条件是：关于任意一个正交基的矩阵是实对称矩阵证：必要性：设是对称变换，关于V的标准正交基12
的矩阵是AaijAu
R即
12
12
A
则i
a
k1


ki
k
1i

f因是对称变换，12
是标准正交基，所以
ajiakikjijij
k1


iakjkaij
k1
因此，A是对称矩阵充分性设关于V的标准正交基12
的矩阵是Aaij是实对称矩阵，即
12
12
A，AA
对任意V，有
x11x22x
12

y11y22y
12
y
于是
12
A
12
Ay


其中A，Ay
分别是，关于标准正交基12
的坐标列向量，因此
ATYTATYTAYTAY
因AA故

二、对称变换的基本性质1、特征根的性质Th2实对称矩阵的特征根都是实数
是A在复数域内的任意一个特征根，r