E
，
因为BF∥DA且BF⊥面PEF，
所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．
设正方形边长为2a，则PD＝2a，DE＝a
在△PDE中，
，
所以
，
V故FPDE
，
又因为
，
所以PH
，
所以在△PHD中，si
∠PDH
，
即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．
3．【2017年新课标1理科18】如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC的余弦值．
f【解答】（1）证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD＝P，且PA平面PAD，PD平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA＝PD，∠APD＝90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA＝AB＝2a，则AD
．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则：D（
），B（
），P（0，0，），C（
）．
，
，
．
设平面PBC的一个法向量为
，
由
，得
，取y＝1，得
．
∵AB⊥平面PAD，AD平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB＝A，
∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，
．
∴cos
．
由图可知，二面角APBC为钝角，∴二面角APBC的余弦值为．
f4．【2016年新课标1理科18】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角EBCA的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD＝90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF＝F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角DAFE的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角CBEF的平面角．可得∠DFE＝∠CEF＝60°．
f∵AB∥EF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD＝CD，AB平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD＝a，
则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），
∴（0，2a，0），（，2a，a），（2a，0，0）
设平面BEC的法向量为（x1，y1，z1），则
，
则
，取（，0，1）．
设平面ABC的法向量r