弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）xAxBy，yCxDy，xyExFy；
（2）xAx2y2，yBx2y2，xyCxy；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程


xxyy

yxyxyx
00
；（2）在区域内的相容方程

2x2

2y2
xy
0；（3）在边界上的应力
边界条件

l
x
m
yx
mylxy
f
s
f
s
xs；（4）对于多连体的位移单值条件。ys
（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须AF，DE。此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足AB0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足ABC2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量xQxy2C1x3，y23C2xy2，xyC2y3C3x2y，体力不计，Q为
常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程
得即由x，y的任意性，得

xx

yxy
0


y
y

xyx
0
Qy
2
3C1
x
2
3C2
y
2
C3
x
2
0
3C2xy2C3xy0
33CC12C2C33x2xyQ03C2y20
1
f3C1C30Q3C203C22C30
由此解得，
C1
Q6
，
C2
Q3
，
C3
Q2
3、已知应力分量xq，yq，xy0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解：将已知应力分量xq，yq，xy0，代入平衡微分方程
xx

yxy

X
0

yy

xyx
Y
0

可知，已知应力分量xq，yq，xy0一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略
不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：
2y2

x

y

2x2

y

x
21

2xyxy
将已知应力分量xq，yq，xy0代入上式，可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程：
2y2

x
1

y
2
x2

y
1

x
21
2xyxy
将已知应力分量xq，yq，xy0代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（1）xAxy，yBy3，xyCDy2；
（2）xAy2，yBx2y，xyCxy；
（3）x0，y0，xyCxy；其中，A，B，C，D为常数。
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
2
f2x2y2xyy2x2xy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）2A2ByC（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B0，2AC。
（3）0C；这组应力分量若存在，则须满足：C0，则r