最值问题在经济管理中的应用本段举例说明最大、最小值问题在经济管理中的应用1最小成本问题实际问题中成本一般是产量q的函数CCq求最小成本问题即是求Cq的最小值问题但在实用中经常是用平均成本
Cq达到最小来控制产量所以常常是求平均成本的最小值q
例2设某企业每季度生产某种产品q个单位时总成本函数为
Cqaq3bq2cq
1求使平均成本最小的产量2求最小平均成本及相应的边际成本解1平均成本函数为
a0b0c0
Cq
Cqaq2bqcq
q0
令又
Cq2aqb0得唯一驻点qCq2a0故q
b2a
b就是Cx的极小值因而是最小值2a
所以每季度产量为2当q
b个单位时平均成本最小2a
b时最小平均成本为2abbb4acb2Ca2bc2a2a2a4a
Cq3aq22bqc
而边际成本函数为所以当q
b时相应的边际成本为2abbb4acb2C3a22bc2a2a2a4a
Cq可导则令q
由此可见最小平均成本等于其相应的边际成本一般而言如果平均成本Cq
Cq
qCxCq1CqCq0q2q
当Cq在q处取得极小值时有CqCq即对于成本函数最小平均成本等于相应的边际成本这也证实了我们在第二章研究边际成本时的结论
f例3铁路线上AB段的距离为100km工厂C距A处为20kmAC垂直于AB图316为了运输需要在线AB上选定一点D向工厂修筑一条公路已知铁路上每km货物的运费与公路上每km货物的运费之比为3∶5为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省问D点应选在何处解设ADxkm则DB100xkm
100km
AD
20km
B
C
CD202x2400x2
图316
由于铁路上每km货物的运费与公路上每km货物的运费之比为3∶5因此不妨设铁路上每公里的运费为3k公路上每公里的运费为5kk为某个常数因它与本题的解无关所以不必定出设从B点到C点需要的总运费为y那么y5kCD3kDB，即
y5k400x23k100x
（0≤x≤100）
现在，问题就归结为x在0100内取何值时y的值最小
yk
5x400x2
3
令y0得唯一驻点x15
由于y
x0
400ky
x15
380ky
x100
500k1
1其中x15时y最小因此当52
AD15km时总运费最省2最大利润问题在产量等于销量的情况下利润等于总收入与总成本之差即
LxRxCx
若企业以最大利润为目标而控制产量问题就转化为选择怎样的产量使利润最大根据极值存在的必要条r