第五章习题
51．假设X和Y为随机变量，且满足EX2EY2VarX1VarY9X与
Y的相关系数rXY05．试由切比雪夫不等式确定满足不等式PXY6c的最小
正数c之值解：因为
EXYEXEY220
VarXYVarXVarY2covXY
VarXVarY2rXYVarXVarY
19205197
由切比雪夫不等式：PX
Y
EX
Y

6

VarX62
Y
有
PXY6776236
得c736
52．设X1X2为随机变量且EXi0VarXi1i12证明：对任意的0
有
PX12

X
22

2

1
．
证明：不妨设X1X2为二维连续型随机变量，其密度函数为fX1X2
由于
EX12

X
22




x2

y2
fX1X2
x
ydxdy
，
PX12

X
22

2

x2y22
fX1X2
x
ydxdy

x2y22
x2y22
fX1X2xydxdy


x2y22
fX1X2xydxdy

12
EX12

X
22


12
E
X
21


12
E
X
22


12
VarX1
EX12

12
VarX2

EX22
1101101
2
2

f53．在一枚均匀正四面体的四个面上分别画上1，2，3，4个点现将该四面体重复投
掷，Xii12
的极限．
为第i次投掷向下一面的点数，试求当

时，1

i1
X
2i
依概率收敛
解已知Xii123的分布列为
Xi1234P14141414
E
X
2i


4
k2PXi
k1
k
4k21
k1
4
152

i123
可见，
X
21

X
22

X
23

是独立同分布的随机变量序列，且有相同的数学期望15，满足辛2
钦大数定律，因此对任意0，有
limP

1

i1
X
2i
152




0
即
1

i1
X
2i
依概率
收敛的极限为152
54．设X
是独立的随机变量序列，且假设
PX
l
PX
l
05
12，
问X
是否服从大数定律？
解EXil
i05l
i050
Var
X
i


E
X
2i


E
X
i
2
l
i205l
i20502l
ii123
则E1


i1
Xi
1

i1
EXi0
Var1


i1
Xi

1
2

i1
VarXi

1
2

l
i
i1

123
利用切比雪夫不等式：对任意0，由
P
1

i1
Xi
E1

i1
Xi
Var1


i12
Xi

得
从而r