行列式定义的一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨
论列标的所有可能值，并注．意．每．一．项．的．符．号．设行列式的一般项为1ta1p1a2p2a3p3a4p4，求x4和x3的系数
就是分别求有4个以及3个元素含x时的项。
⑴若4个元素皆含x，各行元素的列标可取如下值：p11p212p33p414
仅当p1p2p3p41234时才能构成四元排列。
⑵若有3个元素含x，各行元素的列标有以下四种情形①②③④
p12341
p21234
p33
3
P41414
1
1
1212
1243
1423
第一列中的数值可组成两个4元排列：21344231，而表格后三列所示的允许值中都缺少一个数，不能构成4元排列解4个元素含x的项只有1t1234a11a22a33a446x4
有3个元素含x的项有两个，
1t2134a12a21a33a441t4231a14a22a33a41
4x32x3＝2x3
x4和x3的系数分别是6和2
练习
3
对例
6
中的行列式fx，求
d3fxdx3
提示fx是x的4次多项式，设fxc0c1xc2x2c3x3c4x4，则d3fxdx36a324a4x，故本题需先求行列式中x4和x3的系数
答案
d3x3
fx
144x12
fxa11练习4求fxa21
a31a41
a12xa22
a32a42
a13a23xa33a43
a14a24中x4、x3的系a34xa44
数以及常数项。
提示行列式中涉及x4和x3的项只有1项，即主对角线上四个元素的乘积1t1234xa11xa22xa33xa44，其余的项至多含x2；而fx的常数项就是f0
答案1a11a22a33a44
a11a12a13a14f0a21a22a23a24
a31a32a33a34a41a42a43a44
3行列式的性质
a11例7设Da21
a12a22
a13a23

则
D

3a113a21
4a11a124a21a22
a13a23


a31a32a33
3a314a31a32a33
A3DB3DC12DD12D
解一
D
对第13列提取公因子31
a11a21
4a11a124a21a22
a13a23
a314a31a32a33
c2

4c1

3
a11a21
a12a22
a13a23
a31a32a33
对第2列提取公因子a11a12a13
3a21a22a233D
a31a32a33
答案为B解二将D按照第2列拆分为两个行列式之和，得
3a11D3a21
3a31
4a114a214a31
a133a11a233a21a333a31
a12a22a32
a13a23a33
上式右端第一个行列式等于零因为第12列成比例，而第二个行列式的各列分别提取公因子，得

a11a12a13
D311a21a22a233D
a31a32a33
a2

1a2
a
11a
例8
设abcd1
证明行列式
b2

1b2
c2

1c2
bc
11
b1
01
c
d
2

1d2
d
11
d
证将行列式按第1列拆分为两个行列式之和，即
a2

1a2
a
1a
1
a2a11a
1a2
a
11a
D
b2c2

1
b21
c2
bc
11b11c
b2
c2
bc
1
b1
c
1
1

b21
1c2
bc
1
b1
1记作D1D2
1
c
d
2

1d2
c
1d
1
d2d11d
1d2
c
11d
对D1的各行分别提取abc和d，并利用abcd1得
11a1a2a
r