可得p2＝3，故p＝6因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x
综合提高（限时25分钟）
7．已知直线y＝kx＋2k0与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若FA
＝2FB，则k＝
A13
B
23
C23
解析设Ax1，y1，Bx2，y2，易知x10，x20，y10，y20，
．D232
f由yy＝2＝k8（x，x＋2），得k2x2＋4k2－8x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，
①
∵FA＝x1＋p2＝x1＋2，
FB＝x2＋p2＝x2＋2，且FA＝2FB，
∴x1＝2x2＋2
②
由①②得x2＝1，
∴B1，2
2，代入
y＝kx＋2，得
k＝2
3
2故选
D
答案D
8．过抛物线y2＝2pxp0的焦点F的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向准线l作垂
线，垂足分别为M1，N1，则∠M1FN1等于
．
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
解析如图，由抛物线的定义，
得MF＝MM1，NF＝NN1
∴∠MFM1＝∠MM1F，
∠NFN1＝∠NN1F设准线l与x轴的交点为F1，∵MM1∥FF1∥NN1，
∴∠MM1F＝∠M1FF1，
∠NN1F＝∠N1FF1
而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°，∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°，即∠M1FN1＝90°
答案C
9．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程
是________．
解析
该等边三角形的高为
32因而
A
点坐标为±
23，21或±
23，－12可设抛物线方
程为y2＝2pxp≠0．A在抛物线上，因而p＝±123因而所求抛物线方程为y2＝±63x
f答案y2＝±63x10．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F1，0．直线l与抛物线C相交于A、B两
点，若AB的中点为2，2，则直线l的方程为________．解析抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点Ax1，y1，Bx2，y2，
则有x1≠x2，yy1222＝＝44xx12，两式相减得，y12－y22＝4x1－x2，∴yx11－－yx22＝y1＋4y2＝1，∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x答案y＝x11．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程．解设抛物线的方程为y2＝2px，
则yy2＝＝22xp＋x，1，消去y，得4x2－2p－4x＋1＝0，设Ax1，y1，Bx2，y2，x1＋x2＝p－22，x1x2＝14AB＝1＋k2x1－x2＝5（x1＋x2）2－4x1x2＝5（p－22）2－4×14＝15则p42－p＝3，p2－4p－12＝0，p＝－2或6∴y2＝－4x或y2＝12x12．创新拓展如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°
f1证明直线AB必过一定点；
2求△AOB面积的最小值．
1证明设OA所在直线的方程为y＝kxk≠0，则直线OB的方程为y＝－1kx，
由yy＝2＝k2xx，，解得xy＝＝00，，或
x＝k22，y＝k2，
即
A
22点的坐标为k2，k．
同样由r