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方法二：利用随机变量函数的均值公式因X与Y独立，故联合密度为
2xey50x1y5
fxyfXxgfYy0
其他
于是
EXY1xyg2xey5dxdy12x2dxgyey5dy264
50
0
5
3
10设随机变量X，Y的概率密度分别为
fX（x）
2e2x
x0
fY（y）
4e4y
0
x0
0
求（1）E（XY）（2）E（2X3Y2）
【解】X

xfXxdx
xg2e2xdx
0
xe2x0
e2xdx
0
e2xdx1
0
2
y0y0

f
EY

yfYydy
yg4e4ydy1
0
4
EY2

y2
fY

ydy

y2g4e4ydy
0

242

18
从而1EXYEXEY113244
2E2X3Y22EX3EY221315288
11设随机变量X的概率密度为
f（x）
cxe
k
2
x
2

x0
0
x0
求（1）系数c（2）E（X）（3）D（X）
【解】1由

fxdx
cxek2x2dx
c
1得c2k2

0
2k2
2
EX

xfxdx
xg2k2xek2x2dx

0
2k2x2ek2x2dxπ
0
2k
3EX2x2fxdxx2g2k2xek2x21

0
k2
故
DX


EX
2EX
2

1k2

π2k
2

4π4k2

12袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品安装机器时，从袋中一个一个地取出（取
出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，
3为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
PX09075012
PX23290041121110
于是，得到X的概率分布表如下：
PX13902041211
PX3321900051211109
X
0
1
2
3
P
0750
0204
0041
0005
由此可得EX007501020420041300050301
EX2027501202042200413200050413DXEX2EX2041303012032213一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为

f
f（x）

14

e
x4

x0
0
x0
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和200元
PY100PX11ex4dxe1414
PY200PX11e14
故EY100e142001e14300e142003364元
14设X1，X2，…，X
是相互独立的随机变量，且有E（Xi）μ，D（Xi）σ2，i1，2，…，
，记
X

1

i1
XiS2
，S21
1

i1
Xi

X2

（1）验证EXμ，DX2；

（2）
验证S2
1



1i1
Xi2

X2；
（3）验证E（S2）σ2
【证】1
EX

E

1

i1
Xi


1

E

i1
Xi

1

i1
EXr