14导数在实际生活中的应用
对应学生用书P22
面积、体积最大问题
例1用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
思路点拨不妨设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝18－412x＝45－3xm0x32建立长方体的体积函数模型，再求最值．
精解详析设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝18－412x＝45－3xm0x32故长方体的体积为Vx＝2x245－3x＝9x2－6x3m30x32从而V′x＝18x－18x2＝18x1－x．令V′x＝0，解得x＝0舍去，或x＝1，因此x＝1当0x1时，V′x0；当1x32时，V′x0，故在x＝1处Vx取得极大值，并且这个极大值就是Vx的最大值．从而最大体积V＝V1＝9×12－6×13＝3m3，此时长方体的长为2m，高为15m
1
f故当长方体的长为2m，宽为1m，高为15m时，体积最大，最大体积为3m3
一点通在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．
1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm
解析：设该漏斗的高为xcm，则底面半径为202－x2cm，其体积为V＝13πx202－x2
1＝3π
400x－x30x20，则
V′＝13π
400－3x2．
令
V′＝0，解得
x1＝203
3，x2＝－203
3舍去．
当0x2033时，V′0；
当2033x20时，V′0，
所以当x＝2033时，V取得最大值．
答案：2033
2．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解：设容器的高为xcm，容积为Vxcm3，则Vx＝x90－2x48－2x＝4x3－276x2＋4320x0x24．故V′x＝12x2－552x＋4320
2
f＝12x－10x－36．令V′x＝0，得x＝10，或x＝36舍去．当0x10时，V′x0，即Vx为增函数；当10x24时，V′x0，即Vx为减函数．因此，在定义域024内，函数Vx只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V10＝19600cm3．因此当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3
成本最低费用最省问题
例2如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制r