即a
2（
－1）
2
2
＝
－12三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．一必考题：60分．17．本小题满分12分如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°
1若BC＝22，求∠CBD的大小；2设△BCD的面积为S，求S的取值范围．【解析】1在△ABD中，因为AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，则1BD2＝AB2＋AD2－2ABADcos∠BAD＝16＋4－2×4×2×＝12，所以BD＝233分2在△BCD中，因为∠BCD＝120°，BC＝22，BD＝23，由BCBD＝，得si
∠CDBsi
∠BCD
6页
fBCsi
∠BCD22si
120°2si
∠CDB＝＝＝，则∠CDB＝45°5分BD223所以∠CBD＝60°－∠CDB＝15°6分2设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°－θBCBD在△BCD中，因为＝＝4，则BC＝4si
60°－θ．8分si
（60°－θ）si
120°131所以S＝BDBCsi
∠CBD＝43si
60°－θsi
θ＝43cosθ－si
θsi
θ222＝3si
2θ－23si
2θ＝3si
2θ－31－cos2θ＝3si
2θ＋3cos2θ－3＝23si
2θ＋30°－311分1因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，si
2θ＋30°≤1，所以0S≤32故S的取值范围是0，3．12分18．本小题满分12分如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，D为BC的中点．
1求证：AD⊥PB；2若二面角A－PB－C的大小为45°，求三棱锥P－ABC的体积．【解析】1在△ABC中，由余弦定理得BC2＝4＋16－2×2×4×cos120°＝28，则BC＝27因为D为BC的中点，则BD＝CD＝72分1→→1→→→1→→→→→因为AD＝AB＋AC，则AD2＝AB＋AC2＝AB2＋AC2＋2ABAC2441＝4＋16＋2×2×4×cos120°＝3，所以AD＝34分4因为AB2＋AD2＝4＋3＝7＝BD2，则AB⊥AD5分因为PA⊥底面ABC，则PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB6分
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f
2解法一：因为AD⊥平面PAB，过点A作AE⊥PB，垂足为E，连结DE则DE⊥PB，所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角．8分在Rt△DAE中，由已知，∠AED＝45°，则AE＝AD＝39分在Rt△PAB中，设PA＝a，则PB＝AB2＋PA2＝4＋a210分因为AB×AP＝PB×AE，则2a＝4＋a2×3，即4a2＝34＋a2，解得a2＝12，所以PA＝a＝2311分111所以VP－ABC＝×S△ABC×PA＝××2×4×si
120°×23＝412分332
解法二：分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．设PA＝a，则点B2，0，0，D0，3，0，P0，0，a．→→所以BD＝－2，3，0，BP＝－2，0，a．8分设平面PBC的法向量为m＝x，y，z，则→r