多少？
五、综合题（本大题共21分）
1、（本题
10
分）已知直线l1：
yb

zc
1，l2
：
xa

zc
1，求过l1且平行于l2
的
x0
y0
平面方程．

f2、（本题11分）设函数fxyzl
xl
y3l
z在球面x2y2z25R2x0y0z0上求一点，使函数fxyz取到最大值．
六、证明题（本题共12分）1、设函数uxkFzy，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数．试
xx
证明xuyuzukxkFzy
xyz
xx

f第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）
1、x32y12z1221
2、1．2
3、2x4yz50．
4、0
5、2y3x2；
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）
1（A）2（B）3（C）4（C）5（A）
三、计算题（本大题共29分）
1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：dy1xdx1y2
上式两端积分得

1
dyy
2
arcta
y1xdx
x
x22
c
即：arcta
yxx2c其中c为任意常数．2
（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为r23r20特征根为r11
r22于是，该齐次方程的通解为YC1xC2e2x因2是特征方程的单
根，故可设题设方程的特解：yxb0xb1e2x代入题设方程得
2b0x

b1

2b0

x
比较等式两端同次幂的系数得
b0

12

b11
于是，求得题没方程的一个特解yx1x1e2x
2
从而，所求题设方程的通解为
y

C1ex

C2e2x

x12
x
1e2x
2、解：zuv2tcosuv2tsi
u，uu

fzuv2tcosu2uv，zcosu
vv
t
依复合函数求导法则，全导数为
dzzduzdvzdtdtudtvdttdt
v2tsi
uet2uv1cosu1t
l
2ttsi
etet2etl
tcosett
3
、
解
：
解
方
程
组

ff
xy
xx
yy

e2xe2x
2x
2y

2y
2
2

0
4
y

1
0，得驻点112
。由于
Afxxxy4e2xxy22y1，Bfxyxy4e2xy1，Cfyyxy2e2x
在点11处，A2e0，B0，C2e，ACB24e2，所以函数在点11
2
2
处取得极小值，极小值为f11e。22
四、应用题（本题8分）
1、解：即求成本函数cxy在条件xy8下的最小值
构造辅助函数Fxyx22y2xyxy8
解方程组
FFyx

2xx

y4
0y0
Fxy80
解得7x5y3
这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总
成本最小，最小成本为：c53522325328（万）
五、综合题（本大题共21分）
1、解：直线l1与l2的方向向量分别为
s1

0，
1，b
1c


1，
0，
0
0，
1，c

1b

，
s2


1a
，
0，

1c
r