第一章习题选解8证明：如果dxfxdxgxuxvx∈Px使uxfxvxgxdx则dx是fxgx的一个最大公因式证明：显然dx是fxgx的公因式，设d1x是fxgx的任一公因式，那么
d1xuxfxd1xvxgxd1xdx
却dx是fxgx的一个最大公因式9证明：fxhxgxhxfxgxhxhx的首项系数为1
dxfxgxuxfxvxgxdx
证明uxfxhxvxgxhxdxhx，
uxvx
uxfxhxvxgxhx而dxhxfxhxdxhxgxhx
由上题结论即得结论10如果fxgx不全为零，证明

fxgx1fxgxfxgx
证明法1当fxgx一个为零，或有一个是常数时，结论是显然的。不妨假定f≥1g≥1，且经适当调整后有
fxap1xp2xLp
xq1xq2xLqsxm≤
s≤tpixqjx均不可约，于是gxbp1xp2xLpmxq1xq2xLqtx
fxgxcp1xLpmxq1xLqsx，那么
fxgxpm1xLp
xqs1xLqtx1fxgxfxgx
证明法2设
fxgxdx
uxfxvxgxdxfxgx令f1xg1xdxdxuxf1xdxvxg1xdxdxuxf1xvxg1x1
uxvx
fxgx∴f1xg1x1fxgxfxgx
11证明如果fxgx不全为零，且
1
fuxfxvxgxfxgx
那么uxvx1
证明：
uxfxvxgxfxgx
uxfxvxgx1fxgxfxgx
uxf1xvxg1x1∴uxvx1
12证明如果fxgx1fxhx1那么fxgxhx1证明：设fxgxhxd1x
d1xfxd1xfxgxord1xfxhx13d1xgxhxd1xgxord1xhxd1x1d1x1∴fxgxhx1
设fixgjx∈Pxi12Lmj12L
且
fixgjx1
i12Lmj12L

求证f1xf2xLfmxg1xg2xLg
x1证明：用数学归纳法先证m1
1的情况即证f1xg1xg2xLg
x1
10当k1时，f1xgr