时，fx
x
1si
x
2cosxx
当x0f00
1
ffx在x0处连续11lim
x
1si
x
2cosf00x0xx
当
2时成立，
2时，f（x在x0处连续。
五、（本题10分）设函数fuv具有二阶连续偏导数，且yfexcosx，求
d2ydy，2dxdxt0
x0
。
f111；
解：
dydyf1exsi
xf2，当x0时，dxdx
x0
d2yxexf1e2xf11f12esi
xcosxf2exsi
xf21f22si
2x；dx2
当x0时，
d2ydx2
x0
f111f11（11）f211。
六、（本题10分）将函数fxxarcta
xl
1x2展开为x的幂级数，并求级数
（1）的和。
1
2
1
1
2
解：；（arcta
x）（1）x（x1）21x
0

2
arcta
x（（1）t）dt1
t2
dtxx0
0
00


1
2
1；x
02
1

111
12
；l
1x2l
（1x2）x（1x1）22
1
fxxarcta
xl
1x2xf11
1
1
1
2
111
12
1xx1
1x2
2
12
2
2
1
0
1
1

11
2
2
1）
12
2
1
2f1
1
12l
2l
2。422
1
2
1
f七、（本题10分）设fx在01上可导，且lim
x1
1fx2xfxdx0，证明：0x1
至少存在一点01，使得f2f0。解：令Fxexfx；
lim
x1
2
fx2f10F1ef10；x1
111000
又xfxdx0xfx10fxdx0fxdx0
由积分中值定理得：存在，使得fxdxfy10fy0；（01）
01
F（y）eyfy0FyF10；
由罗尔定理Fx在，；1上连续，在，1内可导，FF（1）至少存在一点，1，使得：F0；即f2f0。八、（本题10分）设任意光滑闭曲面，均有
2


exuxdydz2yexuxdzdxe2xzdxdy0，其中ux在上可导，且
u01，求函数ux。
euxdydz2yeuxdzdxezdxdy解：euxeux2euxedv
xx2xxxx2x
0
exuxexux2exuxr