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离散数学试题A卷答案
一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？写过程1PP∨Q∨R2PQ∧Q3PQ∧R
解：1重言式；2矛盾式；3可满足式二、（10分）求命题公式PQQ∨P的主析取范式，并求成真赋值。解：PQQ∨PP∨QQ∨PP∨Q∨Q∨PP∧Q∨Q∨PQ∨PP∨P∧Q∨P∧Q∨P∧QP∧Q∨P∧Q∨P∧Q∨P∧Qm0∨m2∨m3成真赋值为：00、10、11。三、（10分）证明下列命题的等值关系：P∨Q∧P∧QPQ）证明：P∨Q∧P∧QP∨Q∧P∨QP∧Q∨Q∧PP∨Q∧Q∨PPQ∧QPPQ）四、（10分）叙述并证明苏格拉底三段论
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解：所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。符号化：F（x）：x是一个人。G（x）：x要死的。A：苏格拉底。命题符号化为x（F（x）G（x）），F（a）G（a）证明：（1）xFxGx（2）FaGa（3）Fa（4）GaPT1，USPT23，I
五、（10分）已知A、B、C是三个集合，证明A∩B∪CA∩B∪A∩C证明：∵xA∩（B∪C）xA∧x（B∪C）xA∧（xB∨xC）（xA∧xB）∨（xA∧xC）x（A∩B）∨xA∩Cx（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）（A∩B）∪（A∩C）六、（10分）R为集合X上的二元关系，X1，2，3，4，5，6，7，R1，1，
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1，2，2，4，6，3，6，6，7，1，求R的等价闭包R即包含R的最小的等价关系。解：R1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，6，7，7，1，2，2，1，2，4，4，2，6，3，3，6，7，1，1，7，1，4，4，1，2，7，7，2，7，4，4，7七、（10分）设函数f：R×RR×R，R为实数集，f定义为：fx，yxy，xy。1证明f是双射。解：1）x1，y1，x2，y2∈R×R，若fx1，y1fx2，y2，即x1y1，x1y1x2y2，x2y2，则x1y1x2y2且x1y1x2y2得x1x2，y1y2从而f是单射。2）p，q∈R×R，由fx，yp，q，通过计算可得xpq2；ypq2；从而p，q的原象存在，f是满射。八、（10分）设G是一群，H是G的子群，x∈G，证明x●H●x1x●h●x1h∈H是G的子群。解：由H非空，知x●H●X1非空。a，b∈x●H●x1，即存在h1，h2∈H，使得ax●h1●x1，bx●h2●x1，有a●b1x●h1●x1●x●h2●x11x●h1●x1●（X1）1●h21●x1x●h1●h21
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