已知是可逆线性变换，即存在。若
，则
两端用作用即得
，因此是单射线性变换。
若任取变换。
，则存在
，使得
，即是满射线性
已知既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。现定
义新的变换：
，定有，且有
，规定
，有
，同时有知是可逆线性变换。
，即有
。由定义
习题718设是上的线性变换，证明（1）是单射线性变换的
充要条件为
；（2）是单射线性变换的充要条件为把线
性无关的向量组变为线性无关的向量组。
证明：（1）已知是单射线性变换，对
，则有
，由单射得，即
。
已知
，若
，则有
，得
，即得
，故是单射。
（2）已知是单射线性变换。设
线性无关，现证
也线性无关。令
，整
页脚
f理有
，而是单射，有
，
已知
线性无关，所以
，故
也线性无关。
已知把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。若
，则有
，并一定有
。否则若
，
则说明向量
线性无关，而
表示把线性无关的向量
组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。而由即是单射线性变换。
可得
，
习题719设
是
中全体可逆线性变换所成的子集，证明
关于线性变换的乘法构成一个群。（超围略）
习题7110设，是上的线性变换，且
证明
（1）若
，则
；
（2）若
，则
。
证明：（1）因为
，
。所以
，
从而
或
。又因为
故
。
（2）因为
。
，
，所以
页脚
f。习题7111设与分别是数域上的维与维线性空间，
是的一个有序基，对于中任意个向量
，证
明存在唯一的线性映射
，使
证明：先证明存在性。对任意的
，
。
，有唯一的线性表达式
我们定义
显然有
，
。
现验证为到的一个线性映射。
（1）对任意的向量
，因为
，由定义得
。
（2）对任意的得
，因为
，由定义
。所以为到的一个线性映射。
再证唯一性：若另有到的一个线性映射，也使得
则对任意向量
，
。
，一定有
页脚
f。由在中的任意性，可得。
习题7112设与分别是数域上的维与维线性空间，
是线性映射。证明是的子空间，是的子空间。
又若有限，证明
。这时称
为的
零度，称
为的秩。
证明：（1）先证与分别为与的子空间，
对
，
，有
，
所以
，故为的子空间；同理，对
，
，则
，使
，
，所以
所以为的子空间
（2）再证
因有限，不妨设
，
，在中取一个基
，再把它扩充为的一个基
，则
是像空间的一个基
事实上，对
，存在，使得
。
设
，则有
即中的任意向量都可由
页脚
线性表示。
f现证向量组
线性无关：
设
，r