2014年全国高中数学联赛江西省预赛题参考答案及评分标准
一、填空题（每小题8分，共64分）1、如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是5．解：设数列首项为a，公差为d，则ad为正整数，为使a最小，当使d最大，而由a20147d，得
a20145d287d，所以d287a5．7777244，则si
cos．82
2、已知si
cos
11，所以si
cos，由此，24272si
4cos4si
2cos22si
cos．8
解：将条件式平方得12si
cos
3、将12345678910这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和皆是质数，
并且首尾两项之和也是质数，你的填法是：12385671094．（答案不唯一，例如16743258910所排成的数列也可）．
4、已知P是椭圆
x2y21上一点，F1是其左焦点，Q在PF1上且满足259
5．
1OQOPOF1OQ3则点P到该椭圆左准线的距离为2
解：
1OQOPOF1Q为F1P中点，设椭圆右焦点为F2，连接PF2，则2
OQ
1P到左准线距离为d，则PF23PF26PF14设2
PF1d
e
ca2b244d54aa55
1
f5、正三棱锥DABC的底面边长为1，侧棱长为2，过点A作截面与侧棱BDCD
分别相交与点EF，当AEF的周长最小时，AEF的面积为解：将三棱锥沿侧棱DA剪开，展平为一个五边形，然后计算。当
355．64
D
DFECA
AEFA1共线时，截面AEF周长为
最小，这时等腰三角形DAA1与
AB
A1FEBC
DBC具有相同的顶角平分线，
故AA1∥BC，因此，ABDDBCDEFAEB，即ABE为等腰三角形，且ABEA1CFAEF皆与棱锥侧面三角形相似，记BExEFy，由
BEEFBCxy1133，则xy，所以AEA1F1EF，，即ABDEDB12x2244
2
5513553SEFh在AEF中，h1．82648
6、等差数列a
b
的前
项和分别为S
T
，若对任意的正整数
都有
64S
5
3a，则20．T
2
1b79
解：
a
b
均为等差数列，故可设S
k
5
3T
k
2
1，当
2时，
a20k200864b7k2819
25a25的值
a
S
S
1k10
8b
T
T
1k4
1
7、已知1xa0a1xr