若⊙O的直径为3，si
∠CBF＝，求BC和BF的长．
f10．（2019湖北）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接
DB，DC．
（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的
等量关系式：
；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关
系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求
的值．
11．（2019宜昌）如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作ABCD．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
（3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长．
f12．（2019咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是等补四边形；探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．
13．（2019鄂州）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接
fOP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．
f参考答案1．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7∠5＝∠3∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BDDI＝96＝3．
2．（1）证明：连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图，∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，
f即∠BAD＝∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥BC，BH＝CH，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，∴DG是⊙O的切线；（2）解：连接BD、OB，如图，∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠BAD∠ABE＝∠DBC∠CBE＝∠DBE，∴DB＝DE＝6，
∵BH＝BC＝3，
在Rt△BDH中，si
∠BDH＝＝＝，
∴∠BDH＝60°，而OB＝OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，∴∠BOC＝120°，
∴优弧的长＝
＝8r