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第8课时空间向量的应用二空间的角与距离
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则si
〈D→B1，→CM〉的值等于
A12
B
21015
C
23
D
1115
答案B
解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令AD＝1，
∴D→B1＝1，1，1，C→M＝1，－12，0．
1
∴cos〈D→B1，→CM〉＝
1－2
＝5
1155
32
∴si
〈D→B1，→CM〉＝125102．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为
A
1010
B15
C3
1010
D35
答案C
解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．
设AA1＝2AB＝2，则B1，1，0，E1，0，1，C0，1，0，D10，0，2．∴B→E＝0，－1，1，C→D1＝0，－1，2．
∴cos〈→BE，C→D1〉＝
1＋22
＝35
1010
3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于
1
fA．120°
B．60°
C．30°
D．150°
答案C
解析设直线l与平面α所成的角为θ，则si
θ＝cos120°＝12，又0°≤θ≤90°∴θ＝30°
4．2018天津模拟已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为
3
5
A2
B2
C
105
D
1010
答案C解析由题意，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，∴C1O⊥B1D1易得C1O⊥平面DBB1D1，∴∠C1BO即为直线BC1与平面DBB1D1所成的角．
10在Rt△OBC1中，OC1＝22，BC1＝25，∴直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为5，故选C
52018辽宁沈阳和平区模拟如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝4，则直线
BB1与平面ACD1所成角的正弦值为
1
3
A3
B3
6C3
22D3
答案A
解析如图所示，建立空间直角坐标系．
则A2，0，0，C0，2，0，D10，0，4，B2，2，0，B12，2，4，→AC＝－2，2，0，
A→D1＝－2，0，4，B→B1＝0，0，4．

A→C＝0，设平面ACD1的法向量为
＝x，y，z，则
A→D1＝0，
即－2x＋2y＝0，取－2x＋4z＝0，
x＝2，则
y＝2，z＝1，故

＝2，2，1是平面
ACD1
的一个法向量．
设直线BB1与平面ACD1所成的角是θ，则si
θ＝cos〈
，B→B1〉＝
B→BB→1B1＝94×4＝13故选A
6．若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为
A35
B45
C34
D
55
2
f答案B解析间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D⊥平面ACD，∴B1D⊥DC，故△B1DC为直角三角形．
5
3
5
13515
设棱长为1，则有Ar