第四讲分式的化简与求值
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．
例1化简分式：
分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．
＝［2a1a33a22a2］
1
f说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．
例2求分式
当a2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2b2abab，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．
例3若abc1，求
2
f分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．
解法1因为abc1，所以a，b，c都不为零．
解法2因为abc1，所以a≠0，b≠0，c≠0．
例4化简分式：
分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．
3
f说明
互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．
例5化简计算式中a，b，c两两不相等：
似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为abac，而分子又恰好凑成abac，因此有下面的解法．
解
说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用
4
f例6已知：xyz3aa≠0，且x，y，z不全相等，求
分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成xayaza0，那么题目只与xa，ya，za有关，为简化计算，可用换元法求解．
解令xau，yav，zaw，则分式变为
u2v2w22uvvwwu0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2v2w2≠0，从而有
说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．
例7化简分式：
5
f适当变形，化简分式后再计算求值．
x423，即x28x13＝0．原式分子x48x313x22x316x226xx28x1310x2x28x132xx28x13x28x1310
10，原式分母x28x1322，
6
f说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．
解法1利用比例的性质解决分式问题．
1若abc≠0，由等比定理有
所以
abcc，abcb，abca，于是有
2若abc0，则
abr