242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【教学目标】
1要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
2掌握向量垂直的坐标表示的充要条件及平面内两点间的距离公式。
3能用所学知识解决有关综合问题。
【教学重点】
平面向量数量积的坐标表示
【教学难点】
平面向量数量积的坐标表示的综合运用
【教学准备】
多媒体、实物投影仪
【教学过程】
一、复习引入
1两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b作OAaOBb则∠AOBθ0≤θ≤π叫a与b的夹角。
2平面向量数量积内积的定义已知两个非零向量a与b它们的夹角是θ则数量abcosθ叫a与b的数量积记作ab即有ababcosθ
0≤θ≤π。并规定0与任何向量的数量积为0
3向量的数量积的几何意义
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影bcosθ的乘积。
4两个向量的数量积的性质
f设ab为两个非零向量e是与b同向的单位向量。
1eaaeacosθ2a⊥bab0
3当a与b同向时abab当a与b反向时abab。特别的aaa2或aaa
4cosθ
baba5ab≤ab5平面向量数量积的运算律
交换律abba
数乘结合律λabλabaλb
分配律abcacbc
二、讲解新课
1平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量11yxa22yxb试用a和b的坐标表示ba。
设i是x轴上的单位向量j是y轴上的单位向量那么jyixa11jyixb22所以2211jyixjyixba2211221221jyyjiyxjiyxixx
又1ii1jj0ijji所以ba2121yyxx
这就是说两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
即ba2121yyxx
2平面内两点间的距离公式
一、设yxa则222yxa或22yxa。
1如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为
11yx、22yx那么221221yyxxa平面内两点间的距离公式
二、向量垂直的判定
f设11yxa22yxb则ba⊥02121yyxx
三、两向量夹角的余弦πθ≤≤0
cosθbaba222221212
121yxyxyyxx
四、讲解范例
五、设a57b64求ab及ab间的夹角θ精确到1o
例2已知A12B23C25试判断△ABC的形状并给出证明。例3已知a31b12求满足xa9与xb4的向量x。解设xts由429349
ststbxax32st∴x23例4已知a13b3131则a与b的夹角是多少
分析为求a与b夹角需先求ab及ab再结合夹角θ的范围确定其值。解由a13b31r