专题四立体几何第2讲立体几何中的向量方法练习
12016山东卷在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线1已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；2已知EF＝FB＝12AC＝23，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值1证明设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF又EF∥OB，所以GI∥OB在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC因为GH平面GHI，所以GH∥平面ABC2解连接OO′，则OO′⊥平面ABC又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz
由题意得B0，23，0，
C－23，0，0过点F作FM垂直OB于点M，
所以FM＝FB2－BM2＝3，可得F0，3，3
故→BC＝－23，－23，0，B→F＝0，－3，3
设m＝x，y，z是平面BCF的一个法向量
mB→C＝0，－2
由mB→F＝0
可得－
3x－23y＝0，可得平面
3y＋3z＝0
BCF
的一个法向量
m＝－1，1，
33，
因为平面ABC的一个法向量
＝0，0，1，
所以cos〈m，
〉＝mm
＝77
所以二面角F－BC－A的余弦值为77
22015山东卷如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点1求证：BD∥平面FGH；2若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角锐角的大小1证明法一连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，
f所以四边形DFCG为平行四边形则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD，
又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD∥平面FGH法二在三棱台DEF－ABC中，
由BC＝2EF，H为BC的中点，
可得BH∥EF，BH＝EF，
所以四边形BHFE为平行四边形，
可得BE∥HF在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED
因为BD平面ABED，所以BD∥平面FGH2解设AB＝2，则CF＝1
在三棱台DEF－ABC中，G为AC的中点，由DF＝12AC＝GC，可得四
边形DGCF为平行四边形，
因此DG∥FC，又FC⊥平面ABC，
所以DG⊥平面ABC在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点
所以AB＝BC，GB⊥GC，
因此GB，GC，GD两两垂直
以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz
所以G0，0，0，B2，0，0，C0，2，0，D0，0，1
可得
H
22，
22，0，F0，
2，1，
故→GH＝
22，
22，0，G→F＝0，
2，1
r