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初中数学竞赛辅导资料(40)
线段、角的和差倍分
甲内容提要证明线段、角的和,差,倍,分,常用两种方法:一是转化为证明线段
或角的相等关系;一是用代数恒等式的证明方法。一转化为证明相等的一般方法㈠通过作图转化1要证明一线段(角)等于两线段(角)的和(用截长补短法)⑴分解法——把大量分成两部分,证它们分别等于两个小量⑵合成法——作出两个小量的和,证它与大量相等2要证明一线段(角)等于另一线段(角)的2倍⑴折半法——作出大量的一半,证它与小量相等⑵加倍法——作出小量的2倍,证它与大量相等㈡应用有关定理转化1三角形中位线等于第三边的一半,梯形中位线等于两底和的一半2直角三角形斜边中线等于斜边的一半3直角三角形中,含30度的角所对的直角边等于斜边的一半4三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6三角形的重心(各中线的交点)分中线为2∶17有关比例线段定理二用代数恒等式的证明1由左证到右或由右证到左2左右两边分别化简为同一个第三式3证明左边减去右边的差为零4由已知的等式出发,通过恒等变形,到达求证的结论
乙例题例1已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高
求证:DC=AB+BD分析一:用分解法,把DC分成两部分,分别证与AB,BD相等。可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE,再证EC=AE。∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C辅助线是在DC上取DE=DB,连结AE。分析二:用合成法,把AB,BD合成一线段,证它与DC相等。仍然以高AD为轴,作出DC的对称线段DF。为便于证明,辅助线用延长DB到F,使BF=AB,连结AF,则可得
f∠ABD=2∠F=2∠C。
AA
k
B
D
E
CF
BD
C
例2已知:△ABC中,两条高AD和BE相交于H,两条边BC和AC
的中垂线相交于O,垂足是M,N
求证:AH=2MO,BH=2NO
证明一:(加倍法——作出OM,ON的2倍)
连结并延长CO到G使OG=CO连结AG,BG
G
则BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO
AE(一)
HON
∴四边形AGBH是平行四边形,∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO
B
DM
C
证明二:(折半法——作出AH,BH的一半)
分别取AH,BH的中点F,G连结FG,MN
则FG=MN=1AB,FG∥MN∥AB2
又∵OM∥AD,
B
A
EF
(二)
HNO
G
DM
C
∴∠OMN=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等)
同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3已知:在正方形ABCD中,点E在AB上且CE=AD+AE,F
是AB的中点
求证:∠DCE=2∠BCF
分析:本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用r
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