第三章平面问题的有限元法
本章通过三角形常应变单元，介绍有限元法应用于弹性体应力分析的基本原理和方法：包括弹性体的离散化，单元特性的分析，刚度矩阵的建立，等效节点力的计算，解答的收敛性以及实施步骤和注意事项，同时对形函数的性质也作简要的叙述。
第一节
一、结构离散化
三角形常应变单元
用有限元法分析弹性力学平面问题，第一步就是把原来的连续的弹性体离散化。
a
b
图31弹性体和有限元模型
将整个结构（平板）划分成有限个三角形。这样的三角形称为单元（三角形单元）。三角形单元的顶点取为节点。3节点三角形单元用边界节点间的直线段来近似板的曲线边界。这些三角形在其节点处相互连接，组成一个单元集合体，以代替原来的弹性体。注：1全部节点和全部单元一般由1开始按自然顺序编号。2节点编码：
1
f总码用于整体分析，如12，…，按自然顺序编号局部码用于单元分析，i，j，m要求按逆时针方向的顺序进行编码每个单元的节点局部码i，j，m和节点总码有一一对应的关系3单元间不能有重叠4一个单元的任一顶点不许为另一单元任一边的内点5所有作用在单元上的载荷，包括集中载荷、表面载荷和体积力，都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。
2
f二、位移模式
1单元节点位移列阵
vjjyvmmOvuumx
图32平面三角形单元
ujvii
ui
设单元e的节点号码为i，j，m。由弹性力学平面可知，单元内任意一点有两个位移分量u，v，记为
fu
v
T
故每个节点也有两个位移分量，因此称节点自由度为2。3个节点得位移分量分别是uiviujvjumvm，用列阵表示为
eijm
e

uiviujvjumvm
3
（31）
f称单元自由度是6。其中任一子矩阵为
iuivi
2位移模式
T
（i，j，m轮换）
结构承受载荷以后发生位移，但位移分布事先并不知道。位移法有限元采用节点位移为基本未知量。因此，在应用位移法有限元时，需要对单元内部的位移分布进行假定，使其满足节点的位移连续条件和单元边界的位移连续条件。单元位移分布的假定一般选用代数多项式，多项式的系数待定。这是一种近似方法。代数多项式的次数可以选择很高，不过次数越高，分析越麻烦，但精确度越好。这种假定的单元位移分布形式称为位移模式，它是坐标x和y的函数，所以也称为位移函r