圆的切点弦方程
1已知圆的方程x2y2r2求经过圆上一点Mx0y0的切线方程。【结论1】过圆x2y2r2上一点Mx0y0的切线方程xx0yy0r2。
【方法】1设出直线，再求解；
2利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。
【问题】对于坐标平面内任一点Mx0y0，直线L：x0xy0yr2与圆O：x2y2r2究竟是什么关系呢下面我们进行探究：
一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。
二、当点M在圆O外时，
1直线L不是圆O的切线，下面证明之：
∵圆心O到L的距离为d
r2x2y2
由Mx0y0在圆O外得
x02y02r
∴dr，故直线L与圆O相交
2此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢
y
LA
Mx0y0
首先研究L的特征：
易知：OML。
r2
r2

x02y02
x02y02
OA2ONOMN为L与OM的交点
o
x
B
图1
从而OAMA，MA为圆的一条切线，
故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。
事实上（另证），
如图1，设过点M的圆O的两条切线为L1L2切点分别为A、B
f则直线MAx1xy1yr2，直线MBx2xy2yr2
∵点M的坐标x0y0满足直线MA与MB的方程
∴

x1
x0
x2x0

y1y0y1y0

r2r2

由此可见A、B的坐标均满足方程x0xy0yr2，
由于两点确定一条直线
∴直线AB的方程为x0xy0yr2。所以此时的直线L是经过点P的切点弦AB所在直线的方程，而不是圆O
的切线。
【注】上述点M、直线L实质上是射影几何中的极点和极线。
特别的，当M在圆上时，极线即为切线。
三、当点M在圆O内时，
1直线L也不是圆O的切线。下面给出证明：
∵圆心O到L的距离为d
r2x2y2
，由Mx0y0在圆O内得
x02y02r
∴dr故直线L与圆O相离2此时直线L与圆的切线的关系又如何呢首先研究L的特征：由上述探讨过程易知，直线LOM，
y
L
L0
P
A
M
o
x
B
图2
此外，L一定过点P（P为两切线的交点，ABOM），
从而L就在图2中过点P且与AB平行的位置处。
事实上（另证），
f∵直线
L
的斜率kl


x0y0
，而直线
OM
的斜率kom

y0x0
，
∴LOM
一方面，过点M与OM垂直的直线L0方程为xx0x0yy0y00
即x0xy0yx02y02
另一方面，将直线
OM
与
L
的方程联立

x0xy

y0yy0xx0

r2
，
得到它们的交点
P
的坐标为

x0rx02
2
y02

y0rx02
2
y02

，
由（二）可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为
x0r2xy0r2yr2，
x02y02
x02y02
即x0xy0yx02y02，即为直线L0的方程。
由此我们看到L∥L0，直线L是由点M确定的。
另外，直线L是过点Mr