2013中考数学压轴题汇编：阅读理解型
（2011江苏南京，9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．ADAA
PB①CB
EC②B③C
第27题【解题思路】要判断一个点是不是一个三角形的自相似点，只要根据自相似的定义来判断即可；构造一个自相似三角形时，要紧扣定义；因为三角形的内心是角平分线相交形成的，又因为定义既性质，所以可以依据自相似求出各角度数。【答案】⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD
1AB，∴CDBD．2
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．⑵①作图略．作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
f（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．则P为△ABC的自相似点．②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴PBC∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC2∠PBC2∠A，∠ACB＝2∠BCP4∠A．∵∠A∠ABC∠ACB＝180°．∴∠A2∠A4∠A＝180°．∴A
11ABC，PCBACB．22
180180360720．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．7777
【点评】本题介绍了一个全新的知识：自相似，能有效的考查同学们运用所学知识解决新问题的能力，能体现学以致用的原则，是数学教学的最高境界，动手做一个自相似图形，又能有效的考查同学们的动手能力，利用自相似的定义求角度，考查了知识的运用能力，是一个形势新颖的好题，难道较较大。1（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA底边腰
BC容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互AB
唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是（3）如r