第2讲等差数列及其前
项和
【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．2．考查等差数列的性质、前
项和公式及综合应用．【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前
项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．
基础梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式若等差数列a
的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a
＝a1＋
－1d3．等差中项a＋b如果A＝2，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质1通项公式的推广：a
＝am＋
－md
，m∈N．2若a
为等差数列，且m＋
＝p＋q，则am＋a
＝ap＋aqm，
，p，q∈N．3若a
是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，k，m∈N是公差为md的等差数列．4数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，也是等差数列．5S2
－1＝2
－1a
d6若
为偶数，则S偶－S奇＝2；若
为奇数，则S奇－S偶＝a中中间项．
5．等差数列的前
项和公式
a1＋a
若已知首项a1和末项a
，则S
＝，或等差数列a
的首项是a1，公差是d，则其前
2
f
－1项和公式为S
＝
a1＋2d6．等差数列的前
项和公式与函数的关系ddS
＝2
2＋a1－2
，数列a
是等差数列的充要条件是S
＝A
2＋B
A，B为常数．7．最值问题在等差数列a
中，a1＞0，d＜0，则S
存在最大值，若a1＜0，d＞0，则S
存在最小值．
一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前
项和公式：S
＝a1＋a2＋a3＋＋a
，①S
＝a
＋a
－1＋＋a1，②
a1＋a
①＋②得：S
＝2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．1若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，2若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法1定义法：对于
≥2的任意自然数，验证a
－a
－1为同一常数；2等差中项法：验证2a
－1＝a
＋a
－2
≥3，
∈N都成立；3通项公式法：验证a
＝p
＋q；4前
项和公式法：验证S
＝A
2＋B
注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．双基自测1．人教A版教材习题改编已知a
为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于．A．4B．5C．6D．7
解析a2＋a8＝2a5，r