2019年清华大学自主招生考试数学试题
解答题（本大题共100分）
1．（本题10分）求最小正整数
，使得I11i
为纯虚数，并求出I．223
2．（本题10分）已知a、b为非负数，Ma4b4ab1，求M的最值．
3．（本题10分）已知si
、si
、cos为等差数列，si
、si
、cos为等比数列，求cos21cos2的值．
2
4．（本题10分）求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．
5．（本题15分）随机取多少个整数，才能有0．9以上的概率使得这些数中至少有一个
1
f偶数．
6．（本题15分）yx2上一点P（非原点），在P处引切线交x、y轴于Q、R，求PQ．PR
7．（本题15分）已知fx满足：对实数a、b有fabafbbfa，且fx1，
求证fx恒为零．
（可用以下结论：若limgx0fxM，M为一常数，那么limfxgx0）
x
x
8．（本题15分）已知A、B、C为ABC的三个内角，它们所对的边分别a、b、c，求
证
cosBcosC2a4si
A．（在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和
bc
2
BD的最大值，并证明）
2
f3
fr