等差数列的前
项和例题解析
【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解依题意，得
10101d14010a1＋2a1＋a3＋a5＋a7＋a95a1＋20d125
解得a1113，d－22．∴其通项公式为a
113＋
－1－22－22
＋135∴a6－22×6＋135＝3说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．这种
先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6a1＋5d，也可以不必求出a
而
2a1＋9d28直接去求a6，所列方程组化简后可得相减即得a1＋5d3，a1＋4d25
即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解－3若am＝bN，则有3
－1＝5N－3由已知，第一个数列的通项为a
＝3
－1；第二个数列的通项为bN5N
即
＝N＋
2N13
若满足
为正整数，必须有N＝3k＋1k为非负整数．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40
1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋1971393
f【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为A．1，3，5B．1，3，7C．1，3，99D．1，3，9
解C由题设2ba＋5ab3a
又∵14＝5a＋3b，∴a＝1，b＝3∴首项为1，公差为2

1d2
1∴2500
＋2∴
＝502又S
a1＋
∴a50c1＋50－1299∴a＝1，b＝3，c＝99【例4】在1和2之间插入2
个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解依题意2＝1＋2
＋2－1d①

1
d2
1
后半部分的和S′－d
1＝
＋12＋2前半部分的和S
1＝
＋1＋
d
11S
129由已知，有
dS′13
1
122
d192化简，得
d13225解之，得
d④11
由①，有2
＋1d1⑤
②③
由④，⑤，解得d
1，
511
f∴共插入10个数．【例5】在等差数列a
中，设前m项和为Sm，前
项和为S
，且Sm
＝S
，m≠
，求Sm
．
1解∵Sm
＝m＋
a1＋m＋
m＋
－1d21＝m＋
a1＋m＋
－1d2
且Sm＝S
，m≠

11∴ma1＋mm－1d＝
a1＋
－1d22d整理得m－
a1＋m－
m＋
－102
1即m－
a1＋m＋
－1d021由m≠
，知a1＋m＋
－1d＝02
∴Sm
＝0【例6】项和Tr