第3讲平面向量的数量积及应用举例
基础题组练
1．2019高考全国卷Ⅱ已知→AB＝2，3，→AC＝3，t，→BC＝1，则A→BB→C＝
A．－3
B．－2
C．2
D．3
解析：选C因为→BC＝→AC－→AB＝1，t－3，所以→BC＝1＋（t－3）2＝1，解得t＝3，
所以→BC＝1，0，所以→AB→BC＝2×1＋3×0＝2，故选C
2．2019高考全国卷Ⅰ已知非零向量a，b满足a＝2b，且a－b⊥b，则a与b
的夹角为
Aπ6
Bπ3
C2π3
D5π6
解析：选B设a与b的夹角为α，因为a－b⊥b，
所以a－bb＝0，所以ab＝b2，所以abcosα＝b2，又a＝2b，所以cosα＝12，因为α∈0，π，所以α＝π3故选B
3．2019贵阳模拟如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶
点D被阴影遮住，找出D点的位置，→AB→AD的值为
A．10
B．11
C．12
D．13
解析：选B以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A0，0，B4，1，
C6，4，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D2，3，所以→AB→AD＝4，12，3
＝8＋3＝11故选B
f4．2019贵州黔东南州一模已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，
AB＝2，AD＝1，若点Q满足→AQ＝2Q→B，则→QC→QD＝
A．－190
B190
C．－193
D193
解析：选D以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建
立平面直角坐标系，如图所示，则B2，0，C1，1，D0，1．
又A→Q＝2→QB，所以Q43，0，
所以→QC＝－13，1，Q→D＝－43，1，
所以→QC→QD＝49＋1＝193故选D
5．如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且
AB＝6，MN＝4，则→PM→PN等于
A．13
B．7
C．5
D．3
解析：选C连接AP，BP，则P→M＝P→A＋A→M，P→N＝P→B＋B→N＝P→B－A→M，所以P→MP→N＝P→A＋
→AMP→B－A→M＝→PA→PB－→PA→AM＋→AM→PB－→AM2＝－→PA→AM＋→AM→PB－A→M2＝A→MA→B－
A→M2＝1×6－1＝5
6．向量a，b均为非零向量，a－2b⊥a，b－2a⊥b，则a，b的夹角为________．
解析：因为a－2b⊥a，b－2a⊥b，所以a－2ba＝0，b－2ab＝0，即a2－
2ab＝0，b2－2ab＝0，所以b2＝a2＝2ab，cos〈a，b〉＝aabb＝aab2＝12因为〈a，b〉
f∈0，π，所以〈a，b〉＝π3
答案：π3
7．已知点M，N满足→MC＝N→C＝3，且→CM＋→CN＝25，则M，N两点间的距离为________．
解析：依题意，得C→M＋C→N2＝→CM2＋C→N2＋2→CM→CN＝18＋2C→MC→N＝20，则→CM→CN＝1，故M，N两点间的距离为M→N＝→CN－r