第三讲组合数学之竞技与比赛
例1．学而思网校要举行足球赛，有5个部门参加，每个部门出2个代表队，每个队都要与其他队赛一场，这些比赛分别在5个不同的体育场进行，那么平均每个体育场都要进行场比赛。
2解：一共10个代表队，共比赛C1059（场）。45场，45÷
答：平均每个体育场赛9场。例2．甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同，那么另一人胜了场。
2解：一共比赛C46场，
甲、乙、丙三人中每个人都比赛了3场，而且他们相互之间也要进行3场比赛，他们之间的赛不会有人胜两场，也不会三人中有人输了两场，只能是相互间连环胜，这样如果如果他们都胜了另一人，则另一人胜了0场，如果三人都又输给了另一人，则另一人胜了3场。答案是0或3例3．A、B、C、D四个足球队进行单循环赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分。所有比赛结束后，各队得分由高到低恰好是四个连续自然数，那么这次比赛中共有场平局。解：四支球队单循环赛，一共赛6场，如果每场都分出胜负，最后总得分是18分，如果都是平局，那么总得分是12分，所以得分在1216之间。四支球队的得分是四个连续整数，如12341012，（舍去）；34561816，（舍去）；于是只能是234514，应该是4场平局。得2分的球队是2平1负、得3分的球队是3平（或1胜2负）、得4分的球队是1胜1平1负、得5分的球队是1胜2平。通过比较知道，得3分的球队只能是3平，不会是1胜2负（这样的话，胜场与负场不相等），于是有2场分出了胜负，4场为平局。例4．五支足球队比赛，每两个队之间比赛一场：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分。比赛完毕后，发现五个队的积分恰好是五个连续自然数，设第1、2、3、4、5名分别平了A、B、C、D、E场，那么五位数ABCDE。解：五支球队单循环赛，一共赛10场，如果每场都分出胜负，最后总得分是30分，如果都是平局，那么总得分是20分，所以得分在2030之间。2345620，这样10场比赛都是平局，矛盾，舍去；4567830，这样10场比赛都分出胜负，矛盾，舍去；只能是3456725，应该是5场平局，5场分出胜负；第1名得7分，是2胜1平1负；第2名得6分，是2胜2负（或1胜3平）；第3名的5分是1胜2平1负；第4名的4分，是1胜1平2负（或4平），第5名得3分，是1胜3负（或3平1负）。由于前3名已经有了5场胜局，所以第4r