2009年南京大学数学基地班自主招生数学试题一、填空题（每小题7分，共70分）1、已知
为一正整数，并且2
1能被7整除，则
的所有取值为________2、不等式x1x2x3x4
24的解是________
3、设z是一模长大于1的复数，并且满足z4、已知xR，fx
15cosq5si
q，则z________iz22
x2x1
x2x1，则fx的值域为________
5、方程3logx42log4x43log16x40的解集为________6、将1，2，3，4，5，6，7，8，9进行排序，则1，2不在原来位置上的概率p________7、数列a1a2a
中相邻的两项a
a
1是二次多项式x2
xc
0
12的两个根，并且已知a11，则c2k________（用k表示）8、圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖。A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫。若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬________cm（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）9、在△ABC中，AB22BC51AC51，则AB边上的高为________．10、设ab1，a与b的夹角为________二、（20分）已知P为△ABC内一点，BCaCAbABc，点P到三边BC，CA，AB的距离分别为d1d2d3，S表示△ABC的面积，求证：三、（20分）找出所有满足ta
Ata
Bta
Cta
Ata
Bta
C的非直角三角形△ABC四、（25分）在x轴上方作圆与x轴相切，切点为A30，分别从点B30C30作该圆的切线BP和CP，并相交与P。设点C在∠BPC的角平分线上的投影为Q。（1）求点P的轨迹方程，并求其横坐标的取值范围；（2）求点Q的轨迹方程，并求其横坐标的取值范围。五、（20分）已知四面体ABCD，平面π平行于直线AB和CD，并且平面π与四面体ABCD的截面为四边形EFGH（如图），平面π到直线AB，CD的距离分别为d1d2。设k
2




p，则以ab与3ab为邻边的平行四边形的面积为3
abcabc2d1d2d32S
d1，计算五d2
f面体AEHBFG的体积与四面体ABCD的体积之比（用k表示）
六、（20分）解方程x3x
3
x2
七、（25分）设R为实数集，找出所有定义在R上且使得
ffxyfxyfxfyxy
对所有实数x，y都成立的函数f（x）
fr