i
（AB）si
2（AB）．又因为0＜AB＜π，所以si
（AB）≠0，所以si
（AB）si
（AB）0．从而2si
AcosB0．…（10分）
又因为si
A≠0，所以cosB0，即∠B．
所以△ABC为直角三角形．…（12分）点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础
知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．
20．（16分）已知函数f（x）x22a（1）kl
x（k∈N，a∈R且a＞0），（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若k2014时，关于x的方程f（x）2ax有唯一解，求a的值；（3）当k2013时，证明：对一切x＞0∈（0，∞），都有f（x）x2＞2a（）成
立．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）对k分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调性；
（2）构造g（x）f（x）2ax，方程f（x）2ax有唯一解，即g（x）0有唯一解，求导数，确定函数的单调性，即可求得结论；
（3）当k2013时，问题等价于证明
，由导数
可求φ（x）xl
x（x∈（0，∞））的最小值是，当且仅当时取到，由此可
得结论．
解答：（1）解：由已知得x＞0且
．
当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，∞）上是增函数；
当k是偶数时，则
．
所以当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，∞）时，f′（x）＞0．故当k是偶数时，f（x）在（0，）上是减函数，在（，∞）上是增函数．…（4分）（2）解：若k2014，则f（x）x22al
x．
记g（x）f（x）2axx22al
x2ax，∴
，
若方程f（x）2ax有唯一解，即g（x）0有唯一解；令g′（x）0，得x2axa0．
因为a＞0，x＞0，所以
＜0（舍去），
．
12
f当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数；当x∈（x2，∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，∞）上是单调递增函数．当xx2时，g′（x2）0，g（x）mi
g（x2）．因为g（x）0有唯一解，所以g（x2）0．
则
设函数h（x）2l
xx1，因为在x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）0至多有一解．因为h（1）0，所以方程（）的解为x21，从而解得a…（10分）
（3）证明：当k2013时，问题等价于证明
由导数可求φ（x）xl
x（x∈（0，∞））的最小值是，当且仅当时取到，
设
，则
，
∴
，当且仅当x1时取到，
从而对一切x∈（0，∞），都有
成立．故命题成立．…（16分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，难度大r