2013级本科高等数学（一）期末试题解答与评分标准A（理工类少学时）
一、选择题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）111．当x时，函数2si
是（A）xxA无穷小；B无穷大；C有界，但不是无穷小；2．曲线yA0；D无界，但不是无穷大C）
x2x的渐近线的条数为（x21
B1；
x
C2；D
D3C；D1D）
3．极限limA0；
si
xx
B1；
4．若fxdxFxC，则si
xfcosxdx等于（AFsi
xC；CFcosxC；BFsi
xC；DFcosxC
5．设fx可导，且fx02，则x0时，fx在x0处的微分dy是（A与x等价的无穷小；C比x高阶的无穷小；B与x同阶的无穷小；D比x低阶的无穷小
B）
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）f3hf36．设f32，则lim1h0e2h17．设函数fxex1e2x2e3x3，则f08．当x2时，函数y3xx3的最大值为
2
2

2
9．函数fxx1x3，其单调减少的区间是（025）10．由定积分的几何意义，
20
4x2dx．
1
f三、试解下列各题（本大题6个小题，每小题8分，共48分）11．求极限lim
x0
1xsi
xcosxx2
解：原式lim
x0
1xsi
xcosx12x1xsi
xcosx
（3分）（6分）（8分）

1six
xcxosxsi
limx022x1six
cxos3lim2x0x24
12．求曲线si
xyl
yxx在x0处的切线方程解：由x0得y1，对方程两边同时求导cosxyyxy所以y01，切线方程为：yx1
y11，yx
（4分）（6分）（8分）
xtl
1t13．曲线L由参数方程给出，判断曲线L在t0时的凹凸性32ytt
dy3t22t3t21t3t25t2，解：dx111t
（2分）
dydy6t56t51tdx0t0，21dxdxt11t所以曲线在t0时是凹的。
2
d
（6分）（8分）
2
f14．气球充气时，半径以1厘米每秒的速率增加，设在充气的过程中气球保持球形，求当半径r10厘米时，气球体积V增加的速率4解：气球体积与半径的关系为Vr3，3dVdr4r2，两边同时关于时间t求导得，dtdt将r10
drdV1代入得，dtdt
（2分）（5分）（8分）
400
r10
15．已知fx的一个原函数为xex，求不定积分xfr