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2013级本科高等数学(一)期末试题解答与评分标准A(理工类少学时)
一、选择题(本大题5个小题,每小题3分,共15分)111.当x时,函数2si
是(A)xxA无穷小;B无穷大;C有界,但不是无穷小;2.曲线yA0;D无界,但不是无穷大C)
x2x的渐近线的条数为(x21
B1;
x
C2;D
D3C;D1D)
3.极限limA0;
si
xx
B1;
4.若fxdxFxC,则si
xfcosxdx等于(AFsi
xC;CFcosxC;BFsi
xC;DFcosxC
5.设fx可导,且fx02,则x0时,fx在x0处的微分dy是(A与x等价的无穷小;C比x高阶的无穷小;B与x同阶的无穷小;D比x低阶的无穷小
B)
二、填空题(本大题5个小题,每小题3分,共15分)f3hf36.设f32,则lim1h0e2h17.设函数fxex1e2x2e3x3,则f08.当x2时,函数y3xx3的最大值为
2
2

2
9.函数fxx1x3,其单调减少的区间是(025)10.由定积分的几何意义,
20
4x2dx.
1
f三、试解下列各题(本大题6个小题,每小题8分,共48分)11.求极限lim
x0
1xsi
xcosxx2
解:原式lim
x0
1xsi
xcosx12x1xsi
xcosx
(3分)(6分)(8分)

1six
xcxosxsi
limx022x1six
cxos3lim2x0x24
12.求曲线si
xyl
yxx在x0处的切线方程解:由x0得y1,对方程两边同时求导cosxyyxy所以y01,切线方程为:yx1
y11,yx
(4分)(6分)(8分)
xtl
1t13.曲线L由参数方程给出,判断曲线L在t0时的凹凸性32ytt
dy3t22t3t21t3t25t2,解:dx111t
(2分)
dydy6t56t51tdx0t0,21dxdxt11t所以曲线在t0时是凹的。
2
d
(6分)(8分)
2
f14.气球充气时,半径以1厘米每秒的速率增加,设在充气的过程中气球保持球形,求当半径r10厘米时,气球体积V增加的速率4解:气球体积与半径的关系为Vr3,3dVdr4r2,两边同时关于时间t求导得,dtdt将r10
drdV1代入得,dtdt
(2分)(5分)(8分)
400
r10
15.已知fx的一个原函数为xex,求不定积分xfr
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