全国高中数学联赛
全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题
一试
一、填空（每小题7分，共56分）
1．若函数fx
x1
x2
且
f

x
f
f
f
fx，则f991
．


2．已知直线Lxy90和圆M2x22y28x8y10，点A在直线L上，B，
C为圆M上两点，在ABC中，BAC45，AB过圆心M，则点A横坐标范围
为
．
y≥0
3．
在坐标平面上有两个区域
M
和
N
，
M
为

y
≤
x
，N是随t变化的区域，它由
y≤2x
不等式t≤x≤t1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数
ft
．
4．使不等式111a20071对一切正整数
都成立的最小正整数

1
2
2
1
3
a的值为．
5．
椭圆
x2a2

y2b2
1ab0上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积OPOQ
的最
小值为．
6．若方程lgkx2lgx1仅有一个实根，那么k的取值范围是
．
7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）
8．某车站每天8∶009∶00，9∶0010∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻
8∶109∶10
8∶309∶30
8∶509∶50
概率
1
1
1
6
2
3
一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为
（精确到分）．
二、解答题
1．（14分）设直线lykxm（其中k，m为整数）与椭圆x2y21交于不同两1612
点A，B，与双曲线x2y21交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量412
ACBD0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
16
f2．（15分）已知p，qq0是实数，方程x2pxq0有两个实根，，数列a

满足a1p，a2p2q，a
pa
1qa
2
3，4，
Ⅰ求数列a
的通项公式（用，表示）；
Ⅱ若
p

1，
q

14
，求
a


的前


项和．
3．（15分）求函数yx2713xx的最大和最小值．
加试
一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9．如图，M，N分别为锐角三角形ABC（AB）的外接圆上弧BC、AC的中r