第五章矩阵的特征值和特征向量
来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组
1．教学目的和要求：1理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量2了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵3了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质2．教学重点：1会求矩阵的特征值与特征向量2会将矩阵化为相似对角矩阵3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵4．教学内容：本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题§1矩阵的特征值和特征向量
定义1设
是一个阶方阵，
是一个数，如果方程1
存在非零解向量，则称征向量．（1）式也可写成，
为
的一个特征值，相应的非零解向量
称为属于特征值
的特
2这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式3
即
f上式是以
为未知数的一元次方程，称为方阵，称为方阵
的特征方程．其左端
是
的
次多项式，记作
的特征多项式．
显然，

的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程有个特征值．由多项式的根与系数之间的关系，不难
的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵设阶矩阵证明（）（）若方程为的一个特征值，则的重根，则一定是方程的的特征值为
的根因此又称特征根，若
为
称为
重特征根．方程
的每一个非的全部特征值和特征向量
零解向量都是相应于的方法如下：第一步：计算
的特征向量，于是我们可以得到求矩阵
的特征多项式
；的全部根，即为的全部特征值；
第二步：求出特征方程第三步：对于的每一个特征值
，求出齐次线性方程组：
的一个基础解系
，则
的属于特征值（其中
的全部特征向量是是不全为零的任意实数）．
例1
求
的特征值和特征向量
f解
的特征多项式为
所以当的特征值为2时，解齐次线性方程组得
解得因此，属于当
令
1，则其基础解系为：
得令1，
2的全部特征向量为：
4时，解齐次线性方程组
则其基础解系为：注：若是的属于
因此
的属于
4的全部特征向量为也是对应于的特征向量，因而特征向
的特征向量，则
量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值例2求矩阵
的特征值和特征向量解的特征多项式为
所以对于的特征值为
2（二重根），．由
，
2r