年全国各地中考数学压轴题专集：2011年全国各地中考数学压轴题专集：2一元二次方程
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1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x－2k＋3x＋k＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
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2
2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x－2a＋bx＋c＋2ab＝0
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有两个相等的实数根，又si
A、si
B是关于x的方程m＋5x－2m－5x＋m－8＝0的两个实数根．（1）求m的值；（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．
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3．已知关于x的方程x－m＋
＋1x＋m＝0（
≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．（1）试用含有α、β的代数式表示m和
；（2）求证：α≤1≤β；（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2）B（，15，1）C（1，1），，问是否存在点P，使m＋
＝？若存在，求24
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．请阅读下列材料：
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问题：已知方程x＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
y
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝2．
y
把x＝2
2
y
代入已知方程，得2
2
y
－1＝0．2
＋
化简，得y＋2y－4＝0．
2
故所求方程为y＋2y－4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
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（1）已知方程x＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程
用心
爱心
专心
1
f根的相反数，则所求方程为：___________________；
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（2）已知关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
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5．已知关于x的一元二次方程x－2x－a－a＝0（a＞0）．（1）证明这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；（2）如果当a＝1，2，3，…，2011时，对应的一元二次方程的两个根分别为1111α1、β1，α2、β2，α3、β3，…，α2011、β2011，求＋＋＋＋
α1
1＋1＋…＋1＋1的值．
β1
α2
β2
α3
β3
α2011
β2011
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6．已知关于x的一元二次方程x－a＋b＋cx＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．
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7．已知方程x＋2ax＋a－4＝0r